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9.3. 图的遍历

!!! note "图与树的关系"

树代表的是“一对多”的关系，而图则自由度更高，可以代表任意“多对多”关系。本质上，**可以把树看作是图的一类特例**。那么显然，树遍历操作也是图遍历操作的一个特例，两者的方法是非常类似的，建议你在学习本章节的过程中将两者融会贯通。

「图」与「树」都是非线性数据结构，都需要使用「搜索算法」来实现遍历操作。

类似地，图的遍历方式也分为两种，即「广度优先遍历 Breadth-First Traversal」和「深度优先遍历 Depth-First Travsersal」，也称「广度优先搜索 Breadth-First Search」和「深度优先搜索 Depth-First Search」，简称为 BFS 和 DFS 。

9.3.1. 广度优先遍历

广度优先遍历优是一种由近及远的遍历方式，从距离最近的顶点开始访问，并一层层向外扩张。具体地，从某个顶点出发，先遍历该顶点的所有邻接顶点，随后遍历下个顶点的所有邻接顶点，以此类推……

Fig. 图的广度优先遍历

算法实现

BFS 常借助「队列」来实现。队列具有“先入先出”的性质，这与 BFS “由近及远”的思想是异曲同工的。

将遍历起始顶点 startVet 加入队列，并开启循环；
在循环的每轮迭代中，弹出队首顶点弹出并记录访问，并将该顶点的所有邻接顶点加入到队列尾部；
循环 2. ，直到所有顶点访问完成后结束；

为了防止重复遍历顶点，我们需要借助一个哈希表 visited 来记录哪些结点已被访问。

=== "Java"

```java title="graph_bfs.java"
/* 广度优先遍历 BFS */
// 使用邻接表来表示图，以便获取指定顶点的所有邻接顶点
List<Vertex> graphBFS(GraphAdjList graph, Vertex startVet) {
    // 顶点遍历序列
    List<Vertex> res = new ArrayList<>();
    // 哈希表，用于记录已被访问过的顶点
    Set<Vertex> visited = new HashSet<>() {{ add(startVet); }};
    // 队列用于实现 BFS
    Queue<Vertex> que = new LinkedList<>() {{ offer(startVet); }};
    // 以顶点 vet 为起点，循环直至访问完所有顶点
    while (!que.isEmpty()) {
        Vertex vet = que.poll(); // 队首顶点出队
        res.add(vet);            // 记录访问顶点
        // 遍历该顶点的所有邻接顶点
        for (Vertex adjVet : graph.adjList.get(vet)) {
            if (visited.contains(adjVet))
                continue;        // 跳过已被访问过的顶点
            que.offer(adjVet);   // 只入队未访问的顶点
            visited.add(adjVet); // 标记该顶点已被访问
        }
    }
    // 返回顶点遍历序列
    return res;
}
```

=== "C++"

```cpp title="graph_bfs.cpp"
/* 广度优先遍历 BFS */
// 使用邻接表来表示图，以便获取指定顶点的所有邻接顶点
vector<Vertex*> graphBFS(GraphAdjList &graph, Vertex *startVet) {
    // 顶点遍历序列
    vector<Vertex*> res;
    // 哈希表，用于记录已被访问过的顶点
    unordered_set<Vertex*> visited = { startVet };
    // 队列用于实现 BFS
    queue<Vertex*> que;
    que.push(startVet);
    // 以顶点 vet 为起点，循环直至访问完所有顶点
    while (!que.empty()) {
        Vertex *vet = que.front();
        que.pop();          // 队首顶点出队
        res.push_back(vet); // 记录访问顶点
        // 遍历该顶点的所有邻接顶点
        for (auto adjVet : graph.adjList[vet]) {
            if (visited.count(adjVet))
                continue;           // 跳过已被访问过的顶点
            que.push(adjVet);       // 只入队未访问的顶点
            visited.emplace(adjVet); // 标记该顶点已被访问
        }
    }
    // 返回顶点遍历序列
    return res;
}
```

=== "Python"

```python title="graph_bfs.py"
def graph_bfs(graph: GraphAdjList, start_vet: Vertex) -> list[Vertex]:
    """ 广度优先遍历 BFS """
    # 使用邻接表来表示图，以便获取指定顶点的所有邻接顶点
    # 顶点遍历序列
    res = []
    # 哈希表，用于记录已被访问过的顶点
    visited = set[Vertex]([start_vet])
    # 队列用于实现 BFS
    que = deque[Vertex]([start_vet])
    # 以顶点 vet 为起点，循环直至访问完所有顶点
    while len(que) > 0:
        vet = que.popleft()  # 队首顶点出队
        res.append(vet)      # 记录访问顶点
        # 遍历该顶点的所有邻接顶点
        for adj_vet in graph.adj_list[vet]:
            if adj_vet in visited:
                continue         # 跳过已被访问过的顶点
            que.append(adj_vet)  # 只入队未访问的顶点
            visited.add(adj_vet) # 标记该顶点已被访问
    # 返回顶点遍历序列
    return res
```

=== "Go"

```go title="graph_bfs.go"
/* 广度优先遍历 BFS */
// 使用邻接表来表示图，以便获取指定顶点的所有邻接顶点
func graphBFS(g *graphAdjList, startVet Vertex) []Vertex {
    // 顶点遍历序列
    res := make([]Vertex, 0)
    // 哈希表，用于记录已被访问过的顶点
    visited := make(map[Vertex]struct{})
    visited[startVet] = struct{}{}
    // 队列用于实现 BFS, 使用切片模拟队列
    queue := make([]Vertex, 0)
    queue = append(queue, startVet)
    // 以顶点 vet 为起点，循环直至访问完所有顶点
    for len(queue) > 0 {
        // 队首顶点出队
        vet := queue[0]
        queue = queue[1:]
        // 记录访问顶点
        res = append(res, vet)
        // 遍历该顶点的所有邻接顶点
        for _, adjVet := range g.adjList[vet] {
            _, isExist := visited[adjVet]
            // 只入队未访问的顶点
            if !isExist {
                queue = append(queue, adjVet)
                visited[adjVet] = struct{}{}
            }
        }
    }
    // 返回顶点遍历序列
    return res
}
```

=== "JavaScript"

```javascript title="graph_bfs.js"
/* 广度优先遍历 BFS */
// 使用邻接表来表示图，以便获取指定顶点的所有邻接顶点
function graphBFS(graph, startVet) {
    // 顶点遍历序列
    const res = [];
    // 哈希表，用于记录已被访问过的顶点
    const visited = new Set();
    visited.add(startVet);
    // 队列用于实现 BFS
    const que = [startVet];
    // 以顶点 vet 为起点，循环直至访问完所有顶点
    while (que.length) {
        const vet = que.shift();    // 队首顶点出队
        res.push(vet);              // 记录访问顶点
        // 遍历该顶点的所有邻接顶点
        for (const adjVet of graph.adjList.get(vet) ?? []) {
            if (visited.has(adjVet)) {
                continue;           // 跳过已被访问过的顶点
            }
            que.push(adjVet);       // 只入队未访问的顶点
            visited.add(adjVet);    // 标记该顶点已被访问
        }
    }
    // 返回顶点遍历序列
    return res;
}
```

=== "TypeScript"

```typescript title="graph_bfs.ts"
/* 广度优先遍历 BFS */
// 使用邻接表来表示图，以便获取指定顶点的所有邻接顶点
function graphBFS(graph: GraphAdjList, startVet: Vertex): Vertex[] {
    // 顶点遍历序列
    const res: Vertex[] = [];
    // 哈希表，用于记录已被访问过的顶点
    const visited: Set<Vertex> = new Set();
    visited.add(startVet);
    // 队列用于实现 BFS
    const que = [startVet];
    // 以顶点 vet 为起点，循环直至访问完所有顶点
    while (que.length) {
        const vet = que.shift(); // 队首顶点出队
        res.push(vet); // 记录访问顶点
        // 遍历该顶点的所有邻接顶点
        for (const adjVet of graph.adjList.get(vet) ?? []) {
            if (visited.has(adjVet)) {
                continue; // 跳过已被访问过的顶点
            }
            que.push(adjVet); // 只入队未访问
            visited.add(adjVet); // 标记该顶点已被访问
        }
    }
    // 返回顶点遍历序列
    return res;
}
```

=== "C"

```c title="graph_bfs.c"
[class]{}-[func]{graphBFS}
```

=== "C#"

```csharp title="graph_bfs.cs"
[class]{graph_bfs}-[func]{graphBFS}
```

=== "Swift"

```swift title="graph_bfs.swift"
/* 广度优先遍历 BFS */
// 使用邻接表来表示图，以便获取指定顶点的所有邻接顶点
func graphBFS(graph: GraphAdjList, startVet: Vertex) -> [Vertex] {
    // 顶点遍历序列
    var res: [Vertex] = []
    // 哈希表，用于记录已被访问过的顶点
    var visited: Set<Vertex> = [startVet]
    // 队列用于实现 BFS
    var que: [Vertex] = [startVet]
    // 以顶点 vet 为起点，循环直至访问完所有顶点
    while !que.isEmpty {
        let vet = que.removeFirst() // 队首顶点出队
        res.append(vet) // 记录访问顶点
        // 遍历该顶点的所有邻接顶点
        for adjVet in graph.adjList[vet] ?? [] {
            if visited.contains(adjVet) {
                continue // 跳过已被访问过的顶点
            }
            que.append(adjVet) // 只入队未访问的顶点
            visited.insert(adjVet) // 标记该顶点已被访问
        }
    }
    // 返回顶点遍历序列
    return res
}
```

=== "Zig"

```zig title="graph_bfs.zig"
[class]{}-[func]{graphBFS}
```

代码相对抽象，建议对照以下动画图示来加深理解。

=== "<1>"

=== "<2>"

=== "<3>"

=== "<4>"

=== "<5>"

=== "<6>"

=== "<7>"

=== "<8>"

=== "<9>"

=== "<10>"

=== "<11>"

!!! question "广度优先遍历的序列是否唯一？"

不唯一。广度优先遍历只要求“由近及远”，**而多个相同距离的顶点的遍历顺序允许被任意打乱**。以上图为例，顶点 $1$ , $3$ 的访问顺序可以交换、顶点 $2$ , $4$ , $6$ 的访问顺序也可以任意交换、以此类推……

复杂度分析

时间复杂度： 所有顶点都会入队、出队一次，使用 O(|V|) 时间；在遍历邻接顶点的过程中，由于是无向图，因此所有边都会被访问 2 次，使用 O(2|E|) 时间；总体使用 O(|V| + |E|) 时间。

空间复杂度： 列表 res ，哈希表 visited ，队列 que 中的顶点数量最多为 |V| ，使用 O(|V|) 空间。

9.3.2. 深度优先遍历

深度优先遍历是一种优先走到底、无路可走再回头的遍历方式。具体地，从某个顶点出发，不断地访问当前结点的某个邻接顶点，直到走到尽头时回溯，再继续走到底 + 回溯，以此类推……直至所有顶点遍历完成时结束。

Fig. 图的深度优先遍历

算法实现

这种“走到头 + 回溯”的算法形式一般基于递归来实现。与 BFS 类似，在 DFS 中我们也需要借助一个哈希表 visited 来记录已被访问的顶点，以避免重复访问顶点。

=== "Java"

```java title="graph_dfs.java"
/* 深度优先遍历 DFS 辅助函数 */
void dfs(GraphAdjList graph, Set<Vertex> visited, List<Vertex> res, Vertex vet) {
    res.add(vet);     // 记录访问顶点
    visited.add(vet); // 标记该顶点已被访问
    // 遍历该顶点的所有邻接顶点
    for (Vertex adjVet : graph.adjList.get(vet)) {
        if (visited.contains(adjVet))
            continue; // 跳过已被访问过的顶点
        // 递归访问邻接顶点
        dfs(graph, visited, res, adjVet);
    }
}

/* 深度优先遍历 DFS */
// 使用邻接表来表示图，以便获取指定顶点的所有邻接顶点
List<Vertex> graphDFS(GraphAdjList graph, Vertex startVet) {
    // 顶点遍历序列
    List<Vertex> res = new ArrayList<>();
    // 哈希表，用于记录已被访问过的顶点
    Set<Vertex> visited = new HashSet<>();
    dfs(graph, visited, res, startVet);
    return res;
}
```

=== "C++"

```cpp title="graph_dfs.cpp"
/* 深度优先遍历 DFS 辅助函数 */
void dfs(GraphAdjList& graph, unordered_set<Vertex*>& visited, vector<Vertex*>& res, Vertex* vet) {
    res.push_back(vet);   // 记录访问顶点
    visited.emplace(vet); // 标记该顶点已被访问
    // 遍历该顶点的所有邻接顶点
    for (Vertex* adjVet : graph.adjList[vet]) {
        if (visited.count(adjVet))
            continue;     // 跳过已被访问过的顶点
        // 递归访问邻接顶点
        dfs(graph, visited, res, adjVet);
    }
}

/* 深度优先遍历 DFS */
// 使用邻接表来表示图，以便获取指定顶点的所有邻接顶点
vector<Vertex*> graphDFS(GraphAdjList& graph, Vertex* startVet) {
    // 顶点遍历序列
    vector<Vertex*> res;
    // 哈希表，用于记录已被访问过的顶点
    unordered_set<Vertex*> visited;
    dfs(graph, visited, res, startVet);
    return res;
}
```

=== "Python"

```python title="graph_dfs.py"
def dfs(graph: GraphAdjList, visited: set[Vertex], res: list[Vertex], vet: Vertex):
    """ 深度优先遍历 DFS 辅助函数 """
    res.append(vet)     # 记录访问顶点
    visited.add(vet) # 标记该顶点已被访问
    # 遍历该顶点的所有邻接顶点
    for adjVet in graph.adj_list[vet]:
        if adjVet in visited:
            continue # 跳过已被访问过的顶点
        # 递归访问邻接顶点
        dfs(graph, visited, res, adjVet)

def graph_dfs(graph: GraphAdjList, start_vet: Vertex) -> list[Vertex]:
    """ 深度优先遍历 DFS """
    # 顶点遍历序列
    res = []
    # 哈希表，用于记录已被访问过的顶点
    visited = set[Vertex]()
    dfs(graph, visited, res, start_vet)
    return res
```

=== "Go"

```go title="graph_dfs.go"
/* 深度优先遍历 DFS 辅助函数 */
func dfs(g *graphAdjList, visited map[Vertex]struct{}, res *[]Vertex, vet Vertex) {
    // append 操作会返回新的的引用，必须让原引用重新赋值为新slice的引用
    *res = append(*res, vet)
    visited[vet] = struct{}{}
    // 遍历该顶点的所有邻接顶点
    for _, adjVet := range g.adjList[vet] {
        _, isExist := visited[adjVet]
        // 递归访问邻接顶点
        if !isExist {
            dfs(g, visited, res, adjVet)
        }
    }
}

/* 深度优先遍历 DFS */
// 使用邻接表来表示图，以便获取指定顶点的所有邻接顶点
func graphDFS(g *graphAdjList, startVet Vertex) []Vertex {
    // 顶点遍历序列
    res := make([]Vertex, 0)
    // 哈希表，用于记录已被访问过的顶点
    visited := make(map[Vertex]struct{})
    dfs(g, visited, &res, startVet)
    // 返回顶点遍历序列
    return res
}
```

=== "JavaScript"

```javascript title="graph_dfs.js"
/* 深度优先遍历 DFS */
// 使用邻接表来表示图，以便获取指定顶点的所有邻接顶点
function dfs(graph, visited, res, vet) {
    res.push(vet);      // 记录访问顶点
    visited.add(vet);   // 标记该顶点已被访问
    // 遍历该顶点的所有邻接顶点
    for (const adjVet of graph.adjList.get(vet)) {
        if (visited.has(adjVet)) {
            continue; // 跳过已被访问过的顶点
        }
        // 递归访问邻接顶点
        dfs(graph, visited, res, adjVet);
    }
}

/* 深度优先遍历 DFS */
// 使用邻接表来表示图，以便获取指定顶点的所有邻接顶点
function graphDFS(graph, startVet) {
    // 顶点遍历序列
    const res = [];
    // 哈希表，用于记录已被访问过的顶点
    const visited = new Set();
    dfs(graph, visited, res, startVet);
    return res;
}
```

=== "TypeScript"

```typescript title="graph_dfs.ts"
/* 深度优先遍历 DFS 辅助函数 */
function dfs(graph: GraphAdjList, visited: Set<Vertex>, res: Vertex[], vet: Vertex): void {
    res.push(vet); // 记录访问顶点
    visited.add(vet); // 标记该顶点已被访问
    // 遍历该顶点的所有邻接顶点
    for (const adjVet of graph.adjList.get(vet)) {
        if (visited.has(adjVet)) {
            continue; // 跳过已被访问过的顶点
        }
        // 递归访问邻接顶点
        dfs(graph, visited, res, adjVet);
    }
}

/* 深度优先遍历 DFS */
// 使用邻接表来表示图，以便获取指定顶点的所有邻接顶点
function graphDFS(graph: GraphAdjList, startVet: Vertex): Vertex[] {
    // 顶点遍历序列
    const res: Vertex[] = [];
    // 哈希表，用于记录已被访问过的顶点
    const visited: Set<Vertex> = new Set();
    dfs(graph, visited, res, startVet);
    return res;
}
```

=== "C"

```c title="graph_dfs.c"
[class]{}-[func]{dfs}

[class]{}-[func]{graphDFS}
```

=== "C#"

```csharp title="graph_dfs.cs"
[class]{graph_dfs}-[func]{dfs}

[class]{graph_dfs}-[func]{graphDFS}
```

=== "Swift"

```swift title="graph_dfs.swift"
/* 深度优先遍历 DFS 辅助函数 */
func dfs(graph: GraphAdjList, visited: inout Set<Vertex>, res: inout [Vertex], vet: Vertex) {
    res.append(vet) // 记录访问顶点
    visited.insert(vet) // 标记该顶点已被访问
    // 遍历该顶点的所有邻接顶点
    for adjVet in graph.adjList[vet] ?? [] {
        if visited.contains(adjVet) {
            continue // 跳过已被访问过的顶点
        }
        // 递归访问邻接顶点
        dfs(graph: graph, visited: &visited, res: &res, vet: adjVet)
    }
}

/* 深度优先遍历 DFS */
// 使用邻接表来表示图，以便获取指定顶点的所有邻接顶点
func graphDFS(graph: GraphAdjList, startVet: Vertex) -> [Vertex] {
    // 顶点遍历序列
    var res: [Vertex] = []
    // 哈希表，用于记录已被访问过的顶点
    var visited: Set<Vertex> = []
    dfs(graph: graph, visited: &visited, res: &res, vet: startVet)
    return res
}
```

=== "Zig"

```zig title="graph_dfs.zig"
[class]{}-[func]{dfs}

[class]{}-[func]{graphDFS}
```

深度优先遍历的算法流程如下图所示，其中

直虚线代表向下递推，代表开启了一个新的递归方法来访问新顶点；
曲虚线代表向上回溯，代表此递归方法已经返回，回溯到了开启此递归方法的位置；

为了加深理解，请你将图示与代码结合起来，在脑中（或者用笔画下来）模拟整个 DFS 过程，包括每个递归方法何时开启、何时返回。

=== "<1>"

=== "<2>"

=== "<3>"

=== "<4>"

=== "<5>"

=== "<6>"

=== "<7>"

=== "<8>"

=== "<9>"

=== "<10>"

=== "<11>"

!!! question "深度优先遍历的序列是否唯一？"

与广度优先遍历类似，深度优先遍历序列的顺序也不是唯一的。给定某顶点，先往哪个方向探索都行，都是深度优先遍历。

以树的遍历为例，“根 $\rightarrow$ 左 $\rightarrow$ 右”、“左 $\rightarrow$ 根 $\rightarrow$ 右”、“左 $\rightarrow$ 右 $\rightarrow$ 根”分别对应前序、中序、后序遍历，体现三种不同的遍历优先级，而三者都属于深度优先遍历。

复杂度分析

时间复杂度： 所有顶点都被访问一次；所有边都被访问了 2 次，使用 O(2|E|) 时间；总体使用 O(|V| + |E|) 时间。

空间复杂度： 列表 res ，哈希表 visited 顶点数量最多为 |V| ，递归深度最大为 |V| ，因此使用 O(|V|) 空间。

22 KiB Raw Blame History Unescape Escape

9.3. 图的遍历

9.3.1. 广度优先遍历

算法实现

复杂度分析

9.3.2. 深度优先遍历

算法实现

复杂度分析

22 KiB

Raw Blame History Unescape Escape