49 KiB

Raw Blame History

comments
true

13.2 全排列問題

全排列問題是回溯演算法的一個典型應用。它的定義是在給定一個集合（如一個陣列或字串）的情況下，找出其中元素的所有可能的排列。

表 13-2 列舉了幾個示例資料，包括輸入陣列和對應的所有排列。

表 13-2 全排列示例

輸入陣列	所有排列
`[1]`	`[1]`
`[1, 2]`	`[1, 2], [2, 1]`
`[1, 2, 3]`	`[1, 2, 3], [1, 3, 2], [2, 1, 3], [2, 3, 1], [3, 1, 2], [3, 2, 1]`

13.2.1 無相等元素的情況

!!! question

輸入一個整數陣列，其中不包含重複元素，返回所有可能的排列。

從回溯演算法的角度看，我們可以把生成排列的過程想象成一系列選擇的結果。假設輸入陣列為 [1, 2, 3] ，如果我們先選擇 1 ，再選擇 3 ，最後選擇 2 ，則獲得排列 [1, 3, 2] 。回退表示撤銷一個選擇，之後繼續嘗試其他選擇。

從回溯程式碼的角度看，候選集合 choices 是輸入陣列中的所有元素，狀態 state 是直至目前已被選擇的元素。請注意，每個元素只允許被選擇一次，因此 state 中的所有元素都應該是唯一的。

如圖 13-5 所示，我們可以將搜尋過程展開成一棵遞迴樹，樹中的每個節點代表當前狀態 state 。從根節點開始，經過三輪選擇後到達葉節點，每個葉節點都對應一個排列。

{ class="animation-figure" }

圖 13-5 全排列的遞迴樹

1. 重複選擇剪枝

為了實現每個元素只被選擇一次，我們考慮引入一個布林型陣列 selected ，其中 selected[i] 表示 choices[i] 是否已被選擇，並基於它實現以下剪枝操作。

在做出選擇 choice[i] 後，我們就將 selected[i] 賦值為 \text{True} ，代表它已被選擇。
走訪選擇串列 choices 時，跳過所有已被選擇的節點，即剪枝。

如圖 13-6 所示，假設我們第一輪選擇 1 ，第二輪選擇 3 ，第三輪選擇 2 ，則需要在第二輪剪掉元素 1 的分支，在第三輪剪掉元素 1 和元素 3 的分支。

{ class="animation-figure" }

圖 13-6 全排列剪枝示例

觀察圖 13-6 發現，該剪枝操作將搜尋空間大小從 O(n^n) 減小至 O(n!) 。

2. 程式碼實現

想清楚以上資訊之後，我們就可以在框架程式碼中做“完形填空”了。為了縮短整體程式碼，我們不單獨實現框架程式碼中的各個函式，而是將它們展開在 backtrack() 函式中：

=== "Python"

```python title="permutations_i.py"
def backtrack(
    state: list[int], choices: list[int], selected: list[bool], res: list[list[int]]
):
    """回溯演算法：全排列 I"""
    # 當狀態長度等於元素數量時，記錄解
    if len(state) == len(choices):
        res.append(list(state))
        return
    # 走訪所有選擇
    for i, choice in enumerate(choices):
        # 剪枝：不允許重複選擇元素
        if not selected[i]:
            # 嘗試：做出選擇，更新狀態
            selected[i] = True
            state.append(choice)
            # 進行下一輪選擇
            backtrack(state, choices, selected, res)
            # 回退：撤銷選擇，恢復到之前的狀態
            selected[i] = False
            state.pop()

def permutations_i(nums: list[int]) -> list[list[int]]:
    """全排列 I"""
    res = []
    backtrack(state=[], choices=nums, selected=[False] * len(nums), res=res)
    return res
```

=== "C++"

```cpp title="permutations_i.cpp"
/* 回溯演算法：全排列 I */
void backtrack(vector<int> &state, const vector<int> &choices, vector<bool> &selected, vector<vector<int>> &res) {
    // 當狀態長度等於元素數量時，記錄解
    if (state.size() == choices.size()) {
        res.push_back(state);
        return;
    }
    // 走訪所有選擇
    for (int i = 0; i < choices.size(); i++) {
        int choice = choices[i];
        // 剪枝：不允許重複選擇元素
        if (!selected[i]) {
            // 嘗試：做出選擇，更新狀態
            selected[i] = true;
            state.push_back(choice);
            // 進行下一輪選擇
            backtrack(state, choices, selected, res);
            // 回退：撤銷選擇，恢復到之前的狀態
            selected[i] = false;
            state.pop_back();
        }
    }
}

/* 全排列 I */
vector<vector<int>> permutationsI(vector<int> nums) {
    vector<int> state;
    vector<bool> selected(nums.size(), false);
    vector<vector<int>> res;
    backtrack(state, nums, selected, res);
    return res;
}
```

=== "Java"

```java title="permutations_i.java"
/* 回溯演算法：全排列 I */
void backtrack(List<Integer> state, int[] choices, boolean[] selected, List<List<Integer>> res) {
    // 當狀態長度等於元素數量時，記錄解
    if (state.size() == choices.length) {
        res.add(new ArrayList<Integer>(state));
        return;
    }
    // 走訪所有選擇
    for (int i = 0; i < choices.length; i++) {
        int choice = choices[i];
        // 剪枝：不允許重複選擇元素
        if (!selected[i]) {
            // 嘗試：做出選擇，更新狀態
            selected[i] = true;
            state.add(choice);
            // 進行下一輪選擇
            backtrack(state, choices, selected, res);
            // 回退：撤銷選擇，恢復到之前的狀態
            selected[i] = false;
            state.remove(state.size() - 1);
        }
    }
}

/* 全排列 I */
List<List<Integer>> permutationsI(int[] nums) {
    List<List<Integer>> res = new ArrayList<List<Integer>>();
    backtrack(new ArrayList<Integer>(), nums, new boolean[nums.length], res);
    return res;
}
```

=== "C#"

```csharp title="permutations_i.cs"
/* 回溯演算法：全排列 I */
void Backtrack(List<int> state, int[] choices, bool[] selected, List<List<int>> res) {
    // 當狀態長度等於元素數量時，記錄解
    if (state.Count == choices.Length) {
        res.Add(new List<int>(state));
        return;
    }
    // 走訪所有選擇
    for (int i = 0; i < choices.Length; i++) {
        int choice = choices[i];
        // 剪枝：不允許重複選擇元素
        if (!selected[i]) {
            // 嘗試：做出選擇，更新狀態
            selected[i] = true;
            state.Add(choice);
            // 進行下一輪選擇
            Backtrack(state, choices, selected, res);
            // 回退：撤銷選擇，恢復到之前的狀態
            selected[i] = false;
            state.RemoveAt(state.Count - 1);
        }
    }
}

/* 全排列 I */
List<List<int>> PermutationsI(int[] nums) {
    List<List<int>> res = [];
    Backtrack([], nums, new bool[nums.Length], res);
    return res;
}
```

=== "Go"

```go title="permutations_i.go"
/* 回溯演算法：全排列 I */
func backtrackI(state *[]int, choices *[]int, selected *[]bool, res *[][]int) {
    // 當狀態長度等於元素數量時，記錄解
    if len(*state) == len(*choices) {
        newState := append([]int{}, *state...)
        *res = append(*res, newState)
    }
    // 走訪所有選擇
    for i := 0; i < len(*choices); i++ {
        choice := (*choices)[i]
        // 剪枝：不允許重複選擇元素
        if !(*selected)[i] {
            // 嘗試：做出選擇，更新狀態
            (*selected)[i] = true
            *state = append(*state, choice)
            // 進行下一輪選擇
            backtrackI(state, choices, selected, res)
            // 回退：撤銷選擇，恢復到之前的狀態
            (*selected)[i] = false
            *state = (*state)[:len(*state)-1]
        }
    }
}

/* 全排列 I */
func permutationsI(nums []int) [][]int {
    res := make([][]int, 0)
    state := make([]int, 0)
    selected := make([]bool, len(nums))
    backtrackI(&state, &nums, &selected, &res)
    return res
}
```

=== "Swift"

```swift title="permutations_i.swift"
/* 回溯演算法：全排列 I */
func backtrack(state: inout [Int], choices: [Int], selected: inout [Bool], res: inout [[Int]]) {
    // 當狀態長度等於元素數量時，記錄解
    if state.count == choices.count {
        res.append(state)
        return
    }
    // 走訪所有選擇
    for (i, choice) in choices.enumerated() {
        // 剪枝：不允許重複選擇元素
        if !selected[i] {
            // 嘗試：做出選擇，更新狀態
            selected[i] = true
            state.append(choice)
            // 進行下一輪選擇
            backtrack(state: &state, choices: choices, selected: &selected, res: &res)
            // 回退：撤銷選擇，恢復到之前的狀態
            selected[i] = false
            state.removeLast()
        }
    }
}

/* 全排列 I */
func permutationsI(nums: [Int]) -> [[Int]] {
    var state: [Int] = []
    var selected = Array(repeating: false, count: nums.count)
    var res: [[Int]] = []
    backtrack(state: &state, choices: nums, selected: &selected, res: &res)
    return res
}
```

=== "JS"

```javascript title="permutations_i.js"
/* 回溯演算法：全排列 I */
function backtrack(state, choices, selected, res) {
    // 當狀態長度等於元素數量時，記錄解
    if (state.length === choices.length) {
        res.push([...state]);
        return;
    }
    // 走訪所有選擇
    choices.forEach((choice, i) => {
        // 剪枝：不允許重複選擇元素
        if (!selected[i]) {
            // 嘗試：做出選擇，更新狀態
            selected[i] = true;
            state.push(choice);
            // 進行下一輪選擇
            backtrack(state, choices, selected, res);
            // 回退：撤銷選擇，恢復到之前的狀態
            selected[i] = false;
            state.pop();
        }
    });
}

/* 全排列 I */
function permutationsI(nums) {
    const res = [];
    backtrack([], nums, Array(nums.length).fill(false), res);
    return res;
}
```

=== "TS"

```typescript title="permutations_i.ts"
/* 回溯演算法：全排列 I */
function backtrack(
    state: number[],
    choices: number[],
    selected: boolean[],
    res: number[][]
): void {
    // 當狀態長度等於元素數量時，記錄解
    if (state.length === choices.length) {
        res.push([...state]);
        return;
    }
    // 走訪所有選擇
    choices.forEach((choice, i) => {
        // 剪枝：不允許重複選擇元素
        if (!selected[i]) {
            // 嘗試：做出選擇，更新狀態
            selected[i] = true;
            state.push(choice);
            // 進行下一輪選擇
            backtrack(state, choices, selected, res);
            // 回退：撤銷選擇，恢復到之前的狀態
            selected[i] = false;
            state.pop();
        }
    });
}

/* 全排列 I */
function permutationsI(nums: number[]): number[][] {
    const res: number[][] = [];
    backtrack([], nums, Array(nums.length).fill(false), res);
    return res;
}
```

=== "Dart"

```dart title="permutations_i.dart"
/* 回溯演算法：全排列 I */
void backtrack(
  List<int> state,
  List<int> choices,
  List<bool> selected,
  List<List<int>> res,
) {
  // 當狀態長度等於元素數量時，記錄解
  if (state.length == choices.length) {
    res.add(List.from(state));
    return;
  }
  // 走訪所有選擇
  for (int i = 0; i < choices.length; i++) {
    int choice = choices[i];
    // 剪枝：不允許重複選擇元素
    if (!selected[i]) {
      // 嘗試：做出選擇，更新狀態
      selected[i] = true;
      state.add(choice);
      // 進行下一輪選擇
      backtrack(state, choices, selected, res);
      // 回退：撤銷選擇，恢復到之前的狀態
      selected[i] = false;
      state.removeLast();
    }
  }
}

/* 全排列 I */
List<List<int>> permutationsI(List<int> nums) {
  List<List<int>> res = [];
  backtrack([], nums, List.filled(nums.length, false), res);
  return res;
}
```

=== "Rust"

```rust title="permutations_i.rs"
/* 回溯演算法：全排列 I */
fn backtrack(mut state: Vec<i32>, choices: &[i32], selected: &mut [bool], res: &mut Vec<Vec<i32>>) {
    // 當狀態長度等於元素數量時，記錄解
    if state.len() == choices.len() {
        res.push(state);
        return;
    }
    // 走訪所有選擇
    for i in 0..choices.len() {
        let choice = choices[i];
        // 剪枝：不允許重複選擇元素
        if !selected[i] {
            // 嘗試：做出選擇，更新狀態
            selected[i] = true;
            state.push(choice);
            // 進行下一輪選擇
            backtrack(state.clone(), choices, selected, res);
            // 回退：撤銷選擇，恢復到之前的狀態
            selected[i] = false;
            state.remove(state.len() - 1);
        }
    }
}

/* 全排列 I */
fn permutations_i(nums: &mut [i32]) -> Vec<Vec<i32>> {
    let mut res = Vec::new(); // 狀態（子集）
    backtrack(Vec::new(), nums, &mut vec![false; nums.len()], &mut res);
    res
}
```

=== "C"

```c title="permutations_i.c"
/* 回溯演算法：全排列 I */
void backtrack(int *state, int stateSize, int *choices, int choicesSize, bool *selected, int **res, int *resSize) {
    // 當狀態長度等於元素數量時，記錄解
    if (stateSize == choicesSize) {
        res[*resSize] = (int *)malloc(choicesSize * sizeof(int));
        for (int i = 0; i < choicesSize; i++) {
            res[*resSize][i] = state[i];
        }
        (*resSize)++;
        return;
    }
    // 走訪所有選擇
    for (int i = 0; i < choicesSize; i++) {
        int choice = choices[i];
        // 剪枝：不允許重複選擇元素
        if (!selected[i]) {
            // 嘗試：做出選擇，更新狀態
            selected[i] = true;
            state[stateSize] = choice;
            // 進行下一輪選擇
            backtrack(state, stateSize + 1, choices, choicesSize, selected, res, resSize);
            // 回退：撤銷選擇，恢復到之前的狀態
            selected[i] = false;
        }
    }
}

/* 全排列 I */
int **permutationsI(int *nums, int numsSize, int *returnSize) {
    int *state = (int *)malloc(numsSize * sizeof(int));
    bool *selected = (bool *)malloc(numsSize * sizeof(bool));
    for (int i = 0; i < numsSize; i++) {
        selected[i] = false;
    }
    int **res = (int **)malloc(MAX_SIZE * sizeof(int *));
    *returnSize = 0;

    backtrack(state, 0, nums, numsSize, selected, res, returnSize);

    free(state);
    free(selected);

    return res;
}
```

=== "Kotlin"

```kotlin title="permutations_i.kt"
/* 回溯演算法：全排列 I */
fun backtrack(
    state: MutableList<Int>,
    choices: IntArray,
    selected: BooleanArray,
    res: MutableList<MutableList<Int>?>
) {
    // 當狀態長度等於元素數量時，記錄解
    if (state.size == choices.size) {
        res.add(state.toMutableList())
        return
    }
    // 走訪所有選擇
    for (i in choices.indices) {
        val choice = choices[i]
        // 剪枝：不允許重複選擇元素
        if (!selected[i]) {
            // 嘗試：做出選擇，更新狀態
            selected[i] = true
            state.add(choice)
            // 進行下一輪選擇
            backtrack(state, choices, selected, res)
            // 回退：撤銷選擇，恢復到之前的狀態
            selected[i] = false
            state.removeAt(state.size - 1)
        }
    }
}

/* 全排列 I */
fun permutationsI(nums: IntArray): MutableList<MutableList<Int>?> {
    val res = mutableListOf<MutableList<Int>?>()
    backtrack(mutableListOf(), nums, BooleanArray(nums.size), res)
    return res
}
```

=== "Ruby"

```ruby title="permutations_i.rb"
[class]{}-[func]{backtrack}

[class]{}-[func]{permutations_i}
```

=== "Zig"

```zig title="permutations_i.zig"
[class]{}-[func]{backtrack}

[class]{}-[func]{permutationsI}
```

??? pythontutor "視覺化執行"

<div style="height: 549px; width: 100%;"><iframe class="pythontutor-iframe" src="https://pythontutor.com/iframe-embed.html#code=def%20backtrack%28%0A%20%20%20%20state%3A%20list%5Bint%5D%2C%20choices%3A%20list%5Bint%5D%2C%20selected%3A%20list%5Bbool%5D%2C%20res%3A%20list%5Blist%5Bint%5D%5D%0A%29%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%E5%9B%9E%E6%BA%AF%E6%BC%94%E7%AE%97%E6%B3%95%EF%BC%9A%E5%85%A8%E6%8E%92%E5%88%97%20I%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%20%E7%95%B6%E7%8B%80%E6%85%8B%E9%95%B7%E5%BA%A6%E7%AD%89%E6%96%BC%E5%85%83%E7%B4%A0%E6%95%B8%E9%87%8F%E6%99%82%EF%BC%8C%E8%A8%98%E9%8C%84%E8%A7%A3%0A%20%20%20%20if%20len%28state%29%20%3D%3D%20len%28choices%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20res.append%28list%28state%29%29%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%0A%20%20%20%20%23%20%E8%B5%B0%E8%A8%AA%E6%89%80%E6%9C%89%E9%81%B8%E6%93%87%0A%20%20%20%20for%20i%2C%20choice%20in%20enumerate%28choices%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E5%89%AA%E6%9E%9D%EF%BC%9A%E4%B8%8D%E5%85%81%E8%A8%B1%E9%87%8D%E8%A4%87%E9%81%B8%E6%93%87%E5%85%83%E7%B4%A0%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20not%20selected%5Bi%5D%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E5%98%97%E8%A9%A6%EF%BC%9A%E5%81%9A%E5%87%BA%E9%81%B8%E6%93%87%EF%BC%8C%E6%9B%B4%E6%96%B0%E7%8B%80%E6%85%8B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20selected%5Bi%5D%20%3D%20True%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20state.append%28choice%29%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E9%80%B2%E8%A1%8C%E4%B8%8B%E4%B8%80%E8%BC%AA%E9%81%B8%E6%93%87%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20backtrack%28state%2C%20choices%2C%20selected%2C%20res%29%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E5%9B%9E%E9%80%80%EF%BC%9A%E6%92%A4%E9%8A%B7%E9%81%B8%E6%93%87%EF%BC%8C%E6%81%A2%E5%BE%A9%E5%88%B0%E4%B9%8B%E5%89%8D%E7%9A%84%E7%8B%80%E6%85%8B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20selected%5Bi%5D%20%3D%20False%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20state.pop%28%29%0A%0A%0Adef%20permutations_i%28nums%3A%20list%5Bint%5D%29%20-%3E%20list%5Blist%5Bint%5D%5D%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%E5%85%A8%E6%8E%92%E5%88%97%20I%22%22%22%0A%20%20%20%20res%20%3D%20%5B%5D%0A%20%20%20%20backtrack%28state%3D%5B%5D%2C%20choices%3Dnums%2C%20selected%3D%5BFalse%5D%20%2A%20len%28nums%29%2C%20res%3Dres%29%0A%20%20%20%20return%20res%0A%0A%0A%22%22%22Driver%20Code%22%22%22%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20nums%20%3D%20%5B1%2C%202%2C%203%5D%0A%0A%20%20%20%20res%20%3D%20permutations_i%28nums%29%0A%0A%20%20%20%20print%28f%22%E8%BC%B8%E5%85%A5%E9%99%A3%E5%88%97%20nums%20%3D%20%7Bnums%7D%22%29%0A%20%20%20%20print%28f%22%E6%89%80%E6%9C%89%E6%8E%92%E5%88%97%20res%20%3D%20%7Bres%7D%22%29&codeDivHeight=472&codeDivWidth=350&cumulative=false&curInstr=13&heapPrimitives=nevernest&origin=opt-frontend.js&py=311&rawInputLstJSON=%5B%5D&textReferences=false"> </iframe></div>
<div style="margin-top: 5px;"><a href="https://pythontutor.com/iframe-embed.html#code=def%20backtrack%28%0A%20%20%20%20state%3A%20list%5Bint%5D%2C%20choices%3A%20list%5Bint%5D%2C%20selected%3A%20list%5Bbool%5D%2C%20res%3A%20list%5Blist%5Bint%5D%5D%0A%29%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%E5%9B%9E%E6%BA%AF%E6%BC%94%E7%AE%97%E6%B3%95%EF%BC%9A%E5%85%A8%E6%8E%92%E5%88%97%20I%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%20%E7%95%B6%E7%8B%80%E6%85%8B%E9%95%B7%E5%BA%A6%E7%AD%89%E6%96%BC%E5%85%83%E7%B4%A0%E6%95%B8%E9%87%8F%E6%99%82%EF%BC%8C%E8%A8%98%E9%8C%84%E8%A7%A3%0A%20%20%20%20if%20len%28state%29%20%3D%3D%20len%28choices%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20res.append%28list%28state%29%29%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%0A%20%20%20%20%23%20%E8%B5%B0%E8%A8%AA%E6%89%80%E6%9C%89%E9%81%B8%E6%93%87%0A%20%20%20%20for%20i%2C%20choice%20in%20enumerate%28choices%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E5%89%AA%E6%9E%9D%EF%BC%9A%E4%B8%8D%E5%85%81%E8%A8%B1%E9%87%8D%E8%A4%87%E9%81%B8%E6%93%87%E5%85%83%E7%B4%A0%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20not%20selected%5Bi%5D%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E5%98%97%E8%A9%A6%EF%BC%9A%E5%81%9A%E5%87%BA%E9%81%B8%E6%93%87%EF%BC%8C%E6%9B%B4%E6%96%B0%E7%8B%80%E6%85%8B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20selected%5Bi%5D%20%3D%20True%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20state.append%28choice%29%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E9%80%B2%E8%A1%8C%E4%B8%8B%E4%B8%80%E8%BC%AA%E9%81%B8%E6%93%87%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20backtrack%28state%2C%20choices%2C%20selected%2C%20res%29%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E5%9B%9E%E9%80%80%EF%BC%9A%E6%92%A4%E9%8A%B7%E9%81%B8%E6%93%87%EF%BC%8C%E6%81%A2%E5%BE%A9%E5%88%B0%E4%B9%8B%E5%89%8D%E7%9A%84%E7%8B%80%E6%85%8B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20selected%5Bi%5D%20%3D%20False%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20state.pop%28%29%0A%0A%0Adef%20permutations_i%28nums%3A%20list%5Bint%5D%29%20-%3E%20list%5Blist%5Bint%5D%5D%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%E5%85%A8%E6%8E%92%E5%88%97%20I%22%22%22%0A%20%20%20%20res%20%3D%20%5B%5D%0A%20%20%20%20backtrack%28state%3D%5B%5D%2C%20choices%3Dnums%2C%20selected%3D%5BFalse%5D%20%2A%20len%28nums%29%2C%20res%3Dres%29%0A%20%20%20%20return%20res%0A%0A%0A%22%22%22Driver%20Code%22%22%22%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20nums%20%3D%20%5B1%2C%202%2C%203%5D%0A%0A%20%20%20%20res%20%3D%20permutations_i%28nums%29%0A%0A%20%20%20%20print%28f%22%E8%BC%B8%E5%85%A5%E9%99%A3%E5%88%97%20nums%20%3D%20%7Bnums%7D%22%29%0A%20%20%20%20print%28f%22%E6%89%80%E6%9C%89%E6%8E%92%E5%88%97%20res%20%3D%20%7Bres%7D%22%29&codeDivHeight=800&codeDivWidth=600&cumulative=false&curInstr=13&heapPrimitives=nevernest&origin=opt-frontend.js&py=311&rawInputLstJSON=%5B%5D&textReferences=false" target="_blank" rel="noopener noreferrer">全螢幕觀看 ></a></div>

13.2.2 考慮相等元素的情況

!!! question

輸入一個整數陣列，**陣列中可能包含重複元素**，返回所有不重複的排列。

假設輸入陣列為 [1, 1, 2] 。為了方便區分兩個重複元素 1 ，我們將第二個 1 記為 \hat{1} 。

如圖 13-7 所示，上述方法生成的排列有一半是重複的。

{ class="animation-figure" }

圖 13-7 重複排列

那麼如何去除重複的排列呢？最直接地，考慮藉助一個雜湊集合，直接對排列結果進行去重。然而這樣做不夠優雅，因為生成重複排列的搜尋分支沒有必要，應當提前識別並剪枝，這樣可以進一步提升演算法效率。

1. 相等元素剪枝

觀察圖 13-8 ，在第一輪中，選擇 1 或選擇 \hat{1} 是等價的，在這兩個選擇之下生成的所有排列都是重複的。因此應該把 \hat{1} 剪枝。

同理，在第一輪選擇 2 之後，第二輪選擇中的 1 和 \hat{1} 也會產生重複分支，因此也應將第二輪的 \hat{1} 剪枝。

從本質上看，我們的目標是在某一輪選擇中，保證多個相等的元素僅被選擇一次。

{ class="animation-figure" }

圖 13-8 重複排列剪枝

2. 程式碼實現

在上一題的程式碼的基礎上，我們考慮在每一輪選擇中開啟一個雜湊集合 duplicated ，用於記錄該輪中已經嘗試過的元素，並將重複元素剪枝：

=== "Python"

```python title="permutations_ii.py"
def backtrack(
    state: list[int], choices: list[int], selected: list[bool], res: list[list[int]]
):
    """回溯演算法：全排列 II"""
    # 當狀態長度等於元素數量時，記錄解
    if len(state) == len(choices):
        res.append(list(state))
        return
    # 走訪所有選擇
    duplicated = set[int]()
    for i, choice in enumerate(choices):
        # 剪枝：不允許重複選擇元素 且 不允許重複選擇相等元素
        if not selected[i] and choice not in duplicated:
            # 嘗試：做出選擇，更新狀態
            duplicated.add(choice)  # 記錄選擇過的元素值
            selected[i] = True
            state.append(choice)
            # 進行下一輪選擇
            backtrack(state, choices, selected, res)
            # 回退：撤銷選擇，恢復到之前的狀態
            selected[i] = False
            state.pop()

def permutations_ii(nums: list[int]) -> list[list[int]]:
    """全排列 II"""
    res = []
    backtrack(state=[], choices=nums, selected=[False] * len(nums), res=res)
    return res
```

=== "C++"

```cpp title="permutations_ii.cpp"
/* 回溯演算法：全排列 II */
void backtrack(vector<int> &state, const vector<int> &choices, vector<bool> &selected, vector<vector<int>> &res) {
    // 當狀態長度等於元素數量時，記錄解
    if (state.size() == choices.size()) {
        res.push_back(state);
        return;
    }
    // 走訪所有選擇
    unordered_set<int> duplicated;
    for (int i = 0; i < choices.size(); i++) {
        int choice = choices[i];
        // 剪枝：不允許重複選擇元素 且 不允許重複選擇相等元素
        if (!selected[i] && duplicated.find(choice) == duplicated.end()) {
            // 嘗試：做出選擇，更新狀態
            duplicated.emplace(choice); // 記錄選擇過的元素值
            selected[i] = true;
            state.push_back(choice);
            // 進行下一輪選擇
            backtrack(state, choices, selected, res);
            // 回退：撤銷選擇，恢復到之前的狀態
            selected[i] = false;
            state.pop_back();
        }
    }
}

/* 全排列 II */
vector<vector<int>> permutationsII(vector<int> nums) {
    vector<int> state;
    vector<bool> selected(nums.size(), false);
    vector<vector<int>> res;
    backtrack(state, nums, selected, res);
    return res;
}
```

=== "Java"

```java title="permutations_ii.java"
/* 回溯演算法：全排列 II */
void backtrack(List<Integer> state, int[] choices, boolean[] selected, List<List<Integer>> res) {
    // 當狀態長度等於元素數量時，記錄解
    if (state.size() == choices.length) {
        res.add(new ArrayList<Integer>(state));
        return;
    }
    // 走訪所有選擇
    Set<Integer> duplicated = new HashSet<Integer>();
    for (int i = 0; i < choices.length; i++) {
        int choice = choices[i];
        // 剪枝：不允許重複選擇元素 且 不允許重複選擇相等元素
        if (!selected[i] && !duplicated.contains(choice)) {
            // 嘗試：做出選擇，更新狀態
            duplicated.add(choice); // 記錄選擇過的元素值
            selected[i] = true;
            state.add(choice);
            // 進行下一輪選擇
            backtrack(state, choices, selected, res);
            // 回退：撤銷選擇，恢復到之前的狀態
            selected[i] = false;
            state.remove(state.size() - 1);
        }
    }
}

/* 全排列 II */
List<List<Integer>> permutationsII(int[] nums) {
    List<List<Integer>> res = new ArrayList<List<Integer>>();
    backtrack(new ArrayList<Integer>(), nums, new boolean[nums.length], res);
    return res;
}
```

=== "C#"

```csharp title="permutations_ii.cs"
/* 回溯演算法：全排列 II */
void Backtrack(List<int> state, int[] choices, bool[] selected, List<List<int>> res) {
    // 當狀態長度等於元素數量時，記錄解
    if (state.Count == choices.Length) {
        res.Add(new List<int>(state));
        return;
    }
    // 走訪所有選擇
    HashSet<int> duplicated = [];
    for (int i = 0; i < choices.Length; i++) {
        int choice = choices[i];
        // 剪枝：不允許重複選擇元素 且 不允許重複選擇相等元素
        if (!selected[i] && !duplicated.Contains(choice)) {
            // 嘗試：做出選擇，更新狀態
            duplicated.Add(choice); // 記錄選擇過的元素值
            selected[i] = true;
            state.Add(choice);
            // 進行下一輪選擇
            Backtrack(state, choices, selected, res);
            // 回退：撤銷選擇，恢復到之前的狀態
            selected[i] = false;
            state.RemoveAt(state.Count - 1);
        }
    }
}

/* 全排列 II */
List<List<int>> PermutationsII(int[] nums) {
    List<List<int>> res = [];
    Backtrack([], nums, new bool[nums.Length], res);
    return res;
}
```

=== "Go"

```go title="permutations_ii.go"
/* 回溯演算法：全排列 II */
func backtrackII(state *[]int, choices *[]int, selected *[]bool, res *[][]int) {
    // 當狀態長度等於元素數量時，記錄解
    if len(*state) == len(*choices) {
        newState := append([]int{}, *state...)
        *res = append(*res, newState)
    }
    // 走訪所有選擇
    duplicated := make(map[int]struct{}, 0)
    for i := 0; i < len(*choices); i++ {
        choice := (*choices)[i]
        // 剪枝：不允許重複選擇元素 且 不允許重複選擇相等元素
        if _, ok := duplicated[choice]; !ok && !(*selected)[i] {
            // 嘗試：做出選擇，更新狀態
            // 記錄選擇過的元素值
            duplicated[choice] = struct{}{}
            (*selected)[i] = true
            *state = append(*state, choice)
            // 進行下一輪選擇
            backtrackII(state, choices, selected, res)
            // 回退：撤銷選擇，恢復到之前的狀態
            (*selected)[i] = false
            *state = (*state)[:len(*state)-1]
        }
    }
}

/* 全排列 II */
func permutationsII(nums []int) [][]int {
    res := make([][]int, 0)
    state := make([]int, 0)
    selected := make([]bool, len(nums))
    backtrackII(&state, &nums, &selected, &res)
    return res
}
```

=== "Swift"

```swift title="permutations_ii.swift"
/* 回溯演算法：全排列 II */
func backtrack(state: inout [Int], choices: [Int], selected: inout [Bool], res: inout [[Int]]) {
    // 當狀態長度等於元素數量時，記錄解
    if state.count == choices.count {
        res.append(state)
        return
    }
    // 走訪所有選擇
    var duplicated: Set<Int> = []
    for (i, choice) in choices.enumerated() {
        // 剪枝：不允許重複選擇元素 且 不允許重複選擇相等元素
        if !selected[i], !duplicated.contains(choice) {
            // 嘗試：做出選擇，更新狀態
            duplicated.insert(choice) // 記錄選擇過的元素值
            selected[i] = true
            state.append(choice)
            // 進行下一輪選擇
            backtrack(state: &state, choices: choices, selected: &selected, res: &res)
            // 回退：撤銷選擇，恢復到之前的狀態
            selected[i] = false
            state.removeLast()
        }
    }
}

/* 全排列 II */
func permutationsII(nums: [Int]) -> [[Int]] {
    var state: [Int] = []
    var selected = Array(repeating: false, count: nums.count)
    var res: [[Int]] = []
    backtrack(state: &state, choices: nums, selected: &selected, res: &res)
    return res
}
```

=== "JS"

```javascript title="permutations_ii.js"
/* 回溯演算法：全排列 II */
function backtrack(state, choices, selected, res) {
    // 當狀態長度等於元素數量時，記錄解
    if (state.length === choices.length) {
        res.push([...state]);
        return;
    }
    // 走訪所有選擇
    const duplicated = new Set();
    choices.forEach((choice, i) => {
        // 剪枝：不允許重複選擇元素 且 不允許重複選擇相等元素
        if (!selected[i] && !duplicated.has(choice)) {
            // 嘗試：做出選擇，更新狀態
            duplicated.add(choice); // 記錄選擇過的元素值
            selected[i] = true;
            state.push(choice);
            // 進行下一輪選擇
            backtrack(state, choices, selected, res);
            // 回退：撤銷選擇，恢復到之前的狀態
            selected[i] = false;
            state.pop();
        }
    });
}

/* 全排列 II */
function permutationsII(nums) {
    const res = [];
    backtrack([], nums, Array(nums.length).fill(false), res);
    return res;
}
```

=== "TS"

```typescript title="permutations_ii.ts"
/* 回溯演算法：全排列 II */
function backtrack(
    state: number[],
    choices: number[],
    selected: boolean[],
    res: number[][]
): void {
    // 當狀態長度等於元素數量時，記錄解
    if (state.length === choices.length) {
        res.push([...state]);
        return;
    }
    // 走訪所有選擇
    const duplicated = new Set();
    choices.forEach((choice, i) => {
        // 剪枝：不允許重複選擇元素 且 不允許重複選擇相等元素
        if (!selected[i] && !duplicated.has(choice)) {
            // 嘗試：做出選擇，更新狀態
            duplicated.add(choice); // 記錄選擇過的元素值
            selected[i] = true;
            state.push(choice);
            // 進行下一輪選擇
            backtrack(state, choices, selected, res);
            // 回退：撤銷選擇，恢復到之前的狀態
            selected[i] = false;
            state.pop();
        }
    });
}

/* 全排列 II */
function permutationsII(nums: number[]): number[][] {
    const res: number[][] = [];
    backtrack([], nums, Array(nums.length).fill(false), res);
    return res;
}
```

=== "Dart"

```dart title="permutations_ii.dart"
/* 回溯演算法：全排列 II */
void backtrack(
  List<int> state,
  List<int> choices,
  List<bool> selected,
  List<List<int>> res,
) {
  // 當狀態長度等於元素數量時，記錄解
  if (state.length == choices.length) {
    res.add(List.from(state));
    return;
  }
  // 走訪所有選擇
  Set<int> duplicated = {};
  for (int i = 0; i < choices.length; i++) {
    int choice = choices[i];
    // 剪枝：不允許重複選擇元素 且 不允許重複選擇相等元素
    if (!selected[i] && !duplicated.contains(choice)) {
      // 嘗試：做出選擇，更新狀態
      duplicated.add(choice); // 記錄選擇過的元素值
      selected[i] = true;
      state.add(choice);
      // 進行下一輪選擇
      backtrack(state, choices, selected, res);
      // 回退：撤銷選擇，恢復到之前的狀態
      selected[i] = false;
      state.removeLast();
    }
  }
}

/* 全排列 II */
List<List<int>> permutationsII(List<int> nums) {
  List<List<int>> res = [];
  backtrack([], nums, List.filled(nums.length, false), res);
  return res;
}
```

=== "Rust"

```rust title="permutations_ii.rs"
/* 回溯演算法：全排列 II */
fn backtrack(mut state: Vec<i32>, choices: &[i32], selected: &mut [bool], res: &mut Vec<Vec<i32>>) {
    // 當狀態長度等於元素數量時，記錄解
    if state.len() == choices.len() {
        res.push(state);
        return;
    }
    // 走訪所有選擇
    let mut duplicated = HashSet::<i32>::new();
    for i in 0..choices.len() {
        let choice = choices[i];
        // 剪枝：不允許重複選擇元素 且 不允許重複選擇相等元素
        if !selected[i] && !duplicated.contains(&choice) {
            // 嘗試：做出選擇，更新狀態
            duplicated.insert(choice); // 記錄選擇過的元素值
            selected[i] = true;
            state.push(choice);
            // 進行下一輪選擇
            backtrack(state.clone(), choices, selected, res);
            // 回退：撤銷選擇，恢復到之前的狀態
            selected[i] = false;
            state.remove(state.len() - 1);
        }
    }
}

/* 全排列 II */
fn permutations_ii(nums: &mut [i32]) -> Vec<Vec<i32>> {
    let mut res = Vec::new();
    backtrack(Vec::new(), nums, &mut vec![false; nums.len()], &mut res);
    res
}
```

=== "C"

```c title="permutations_ii.c"
/* 回溯演算法：全排列 II */
void backtrack(int *state, int stateSize, int *choices, int choicesSize, bool *selected, int **res, int *resSize) {
    // 當狀態長度等於元素數量時，記錄解
    if (stateSize == choicesSize) {
        res[*resSize] = (int *)malloc(choicesSize * sizeof(int));
        for (int i = 0; i < choicesSize; i++) {
            res[*resSize][i] = state[i];
        }
        (*resSize)++;
        return;
    }
    // 走訪所有選擇
    bool duplicated[MAX_SIZE] = {false};
    for (int i = 0; i < choicesSize; i++) {
        int choice = choices[i];
        // 剪枝：不允許重複選擇元素 且 不允許重複選擇相等元素
        if (!selected[i] && !duplicated[choice]) {
            // 嘗試：做出選擇，更新狀態
            duplicated[choice] = true; // 記錄選擇過的元素值
            selected[i] = true;
            state[stateSize] = choice;
            // 進行下一輪選擇
            backtrack(state, stateSize + 1, choices, choicesSize, selected, res, resSize);
            // 回退：撤銷選擇，恢復到之前的狀態
            selected[i] = false;
        }
    }
}

/* 全排列 II */
int **permutationsII(int *nums, int numsSize, int *returnSize) {
    int *state = (int *)malloc(numsSize * sizeof(int));
    bool *selected = (bool *)malloc(numsSize * sizeof(bool));
    for (int i = 0; i < numsSize; i++) {
        selected[i] = false;
    }
    int **res = (int **)malloc(MAX_SIZE * sizeof(int *));
    *returnSize = 0;

    backtrack(state, 0, nums, numsSize, selected, res, returnSize);

    free(state);
    free(selected);

    return res;
}
```

=== "Kotlin"

```kotlin title="permutations_ii.kt"
/* 回溯演算法：全排列 II */
fun backtrack(
    state: MutableList<Int>,
    choices: IntArray,
    selected: BooleanArray,
    res: MutableList<MutableList<Int>?>
) {
    // 當狀態長度等於元素數量時，記錄解
    if (state.size == choices.size) {
        res.add(state.toMutableList())
        return
    }
    // 走訪所有選擇
    val duplicated = HashSet<Int>()
    for (i in choices.indices) {
        val choice = choices[i]
        // 剪枝：不允許重複選擇元素 且 不允許重複選擇相等元素
        if (!selected[i] && !duplicated.contains(choice)) {
            // 嘗試：做出選擇，更新狀態
            duplicated.add(choice) // 記錄選擇過的元素值
            selected[i] = true
            state.add(choice)
            // 進行下一輪選擇
            backtrack(state, choices, selected, res)
            // 回退：撤銷選擇，恢復到之前的狀態
            selected[i] = false
            state.removeAt(state.size - 1)
        }
    }
}

/* 全排列 II */
fun permutationsII(nums: IntArray): MutableList<MutableList<Int>?> {
    val res = mutableListOf<MutableList<Int>?>()
    backtrack(mutableListOf(), nums, BooleanArray(nums.size), res)
    return res
}
```

=== "Ruby"

```ruby title="permutations_ii.rb"
[class]{}-[func]{backtrack}

[class]{}-[func]{permutations_ii}
```

=== "Zig"

```zig title="permutations_ii.zig"
[class]{}-[func]{backtrack}

[class]{}-[func]{permutationsII}
```

??? pythontutor "視覺化執行"

<div style="height: 549px; width: 100%;"><iframe class="pythontutor-iframe" src="https://pythontutor.com/iframe-embed.html#code=def%20backtrack%28%0A%20%20%20%20state%3A%20list%5Bint%5D%2C%20choices%3A%20list%5Bint%5D%2C%20selected%3A%20list%5Bbool%5D%2C%20res%3A%20list%5Blist%5Bint%5D%5D%0A%29%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%E5%9B%9E%E6%BA%AF%E6%BC%94%E7%AE%97%E6%B3%95%EF%BC%9A%E5%85%A8%E6%8E%92%E5%88%97%20II%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%20%E7%95%B6%E7%8B%80%E6%85%8B%E9%95%B7%E5%BA%A6%E7%AD%89%E6%96%BC%E5%85%83%E7%B4%A0%E6%95%B8%E9%87%8F%E6%99%82%EF%BC%8C%E8%A8%98%E9%8C%84%E8%A7%A3%0A%20%20%20%20if%20len%28state%29%20%3D%3D%20len%28choices%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20res.append%28list%28state%29%29%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%0A%20%20%20%20%23%20%E8%B5%B0%E8%A8%AA%E6%89%80%E6%9C%89%E9%81%B8%E6%93%87%0A%20%20%20%20duplicated%20%3D%20set%5Bint%5D%28%29%0A%20%20%20%20for%20i%2C%20choice%20in%20enumerate%28choices%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E5%89%AA%E6%9E%9D%EF%BC%9A%E4%B8%8D%E5%85%81%E8%A8%B1%E9%87%8D%E8%A4%87%E9%81%B8%E6%93%87%E5%85%83%E7%B4%A0%20%E4%B8%94%20%E4%B8%8D%E5%85%81%E8%A8%B1%E9%87%8D%E8%A4%87%E9%81%B8%E6%93%87%E7%9B%B8%E7%AD%89%E5%85%83%E7%B4%A0%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20not%20selected%5Bi%5D%20and%20choice%20not%20in%20duplicated%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E5%98%97%E8%A9%A6%EF%BC%9A%E5%81%9A%E5%87%BA%E9%81%B8%E6%93%87%EF%BC%8C%E6%9B%B4%E6%96%B0%E7%8B%80%E6%85%8B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20duplicated.add%28choice%29%20%20%23%20%E8%A8%98%E9%8C%84%E9%81%B8%E6%93%87%E9%81%8E%E7%9A%84%E5%85%83%E7%B4%A0%E5%80%BC%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20selected%5Bi%5D%20%3D%20True%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20state.append%28choice%29%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E9%80%B2%E8%A1%8C%E4%B8%8B%E4%B8%80%E8%BC%AA%E9%81%B8%E6%93%87%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20backtrack%28state%2C%20choices%2C%20selected%2C%20res%29%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E5%9B%9E%E9%80%80%EF%BC%9A%E6%92%A4%E9%8A%B7%E9%81%B8%E6%93%87%EF%BC%8C%E6%81%A2%E5%BE%A9%E5%88%B0%E4%B9%8B%E5%89%8D%E7%9A%84%E7%8B%80%E6%85%8B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20selected%5Bi%5D%20%3D%20False%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20state.pop%28%29%0A%0A%0Adef%20permutations_ii%28nums%3A%20list%5Bint%5D%29%20-%3E%20list%5Blist%5Bint%5D%5D%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%E5%85%A8%E6%8E%92%E5%88%97%20II%22%22%22%0A%20%20%20%20res%20%3D%20%5B%5D%0A%20%20%20%20backtrack%28state%3D%5B%5D%2C%20choices%3Dnums%2C%20selected%3D%5BFalse%5D%20%2A%20len%28nums%29%2C%20res%3Dres%29%0A%20%20%20%20return%20res%0A%0A%0A%22%22%22Driver%20Code%22%22%22%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20nums%20%3D%20%5B1%2C%202%2C%202%5D%0A%0A%20%20%20%20res%20%3D%20permutations_ii%28nums%29%0A%0A%20%20%20%20print%28f%22%E8%BC%B8%E5%85%A5%E9%99%A3%E5%88%97%20nums%20%3D%20%7Bnums%7D%22%29%0A%20%20%20%20print%28f%22%E6%89%80%E6%9C%89%E6%8E%92%E5%88%97%20res%20%3D%20%7Bres%7D%22%29&codeDivHeight=472&codeDivWidth=350&cumulative=false&curInstr=13&heapPrimitives=nevernest&origin=opt-frontend.js&py=311&rawInputLstJSON=%5B%5D&textReferences=false"> </iframe></div>
<div style="margin-top: 5px;"><a href="https://pythontutor.com/iframe-embed.html#code=def%20backtrack%28%0A%20%20%20%20state%3A%20list%5Bint%5D%2C%20choices%3A%20list%5Bint%5D%2C%20selected%3A%20list%5Bbool%5D%2C%20res%3A%20list%5Blist%5Bint%5D%5D%0A%29%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%E5%9B%9E%E6%BA%AF%E6%BC%94%E7%AE%97%E6%B3%95%EF%BC%9A%E5%85%A8%E6%8E%92%E5%88%97%20II%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%20%E7%95%B6%E7%8B%80%E6%85%8B%E9%95%B7%E5%BA%A6%E7%AD%89%E6%96%BC%E5%85%83%E7%B4%A0%E6%95%B8%E9%87%8F%E6%99%82%EF%BC%8C%E8%A8%98%E9%8C%84%E8%A7%A3%0A%20%20%20%20if%20len%28state%29%20%3D%3D%20len%28choices%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20res.append%28list%28state%29%29%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%0A%20%20%20%20%23%20%E8%B5%B0%E8%A8%AA%E6%89%80%E6%9C%89%E9%81%B8%E6%93%87%0A%20%20%20%20duplicated%20%3D%20set%5Bint%5D%28%29%0A%20%20%20%20for%20i%2C%20choice%20in%20enumerate%28choices%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E5%89%AA%E6%9E%9D%EF%BC%9A%E4%B8%8D%E5%85%81%E8%A8%B1%E9%87%8D%E8%A4%87%E9%81%B8%E6%93%87%E5%85%83%E7%B4%A0%20%E4%B8%94%20%E4%B8%8D%E5%85%81%E8%A8%B1%E9%87%8D%E8%A4%87%E9%81%B8%E6%93%87%E7%9B%B8%E7%AD%89%E5%85%83%E7%B4%A0%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20not%20selected%5Bi%5D%20and%20choice%20not%20in%20duplicated%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E5%98%97%E8%A9%A6%EF%BC%9A%E5%81%9A%E5%87%BA%E9%81%B8%E6%93%87%EF%BC%8C%E6%9B%B4%E6%96%B0%E7%8B%80%E6%85%8B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20duplicated.add%28choice%29%20%20%23%20%E8%A8%98%E9%8C%84%E9%81%B8%E6%93%87%E9%81%8E%E7%9A%84%E5%85%83%E7%B4%A0%E5%80%BC%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20selected%5Bi%5D%20%3D%20True%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20state.append%28choice%29%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E9%80%B2%E8%A1%8C%E4%B8%8B%E4%B8%80%E8%BC%AA%E9%81%B8%E6%93%87%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20backtrack%28state%2C%20choices%2C%20selected%2C%20res%29%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E5%9B%9E%E9%80%80%EF%BC%9A%E6%92%A4%E9%8A%B7%E9%81%B8%E6%93%87%EF%BC%8C%E6%81%A2%E5%BE%A9%E5%88%B0%E4%B9%8B%E5%89%8D%E7%9A%84%E7%8B%80%E6%85%8B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20selected%5Bi%5D%20%3D%20False%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20state.pop%28%29%0A%0A%0Adef%20permutations_ii%28nums%3A%20list%5Bint%5D%29%20-%3E%20list%5Blist%5Bint%5D%5D%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%E5%85%A8%E6%8E%92%E5%88%97%20II%22%22%22%0A%20%20%20%20res%20%3D%20%5B%5D%0A%20%20%20%20backtrack%28state%3D%5B%5D%2C%20choices%3Dnums%2C%20selected%3D%5BFalse%5D%20%2A%20len%28nums%29%2C%20res%3Dres%29%0A%20%20%20%20return%20res%0A%0A%0A%22%22%22Driver%20Code%22%22%22%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20nums%20%3D%20%5B1%2C%202%2C%202%5D%0A%0A%20%20%20%20res%20%3D%20permutations_ii%28nums%29%0A%0A%20%20%20%20print%28f%22%E8%BC%B8%E5%85%A5%E9%99%A3%E5%88%97%20nums%20%3D%20%7Bnums%7D%22%29%0A%20%20%20%20print%28f%22%E6%89%80%E6%9C%89%E6%8E%92%E5%88%97%20res%20%3D%20%7Bres%7D%22%29&codeDivHeight=800&codeDivWidth=600&cumulative=false&curInstr=13&heapPrimitives=nevernest&origin=opt-frontend.js&py=311&rawInputLstJSON=%5B%5D&textReferences=false" target="_blank" rel="noopener noreferrer">全螢幕觀看 ></a></div>

假設元素兩兩之間互不相同，則 n 個元素共有 n! 種排列（階乘）；在記錄結果時，需要複製長度為 n 的串列，使用 O(n) 時間。因此時間複雜度為 O(n!n) 。

最大遞迴深度為 n ，使用 O(n) 堆疊幀空間。selected 使用 O(n) 空間。同一時刻最多共有 n 個 duplicated ，使用 O(n^2) 空間。因此空間複雜度為 O(n^2) 。

3. 兩種剪枝對比

請注意，雖然 selected 和 duplicated 都用於剪枝，但兩者的目標不同。

重複選擇剪枝：整個搜尋過程中只有一個 selected 。它記錄的是當前狀態中包含哪些元素，其作用是避免某個元素在 state 中重複出現。
相等元素剪枝：每輪選擇（每個呼叫的 backtrack 函式）都包含一個 duplicated 。它記錄的是在本輪走訪（for 迴圈）中哪些元素已被選擇過，其作用是保證相等元素只被選擇一次。

圖 13-9 展示了兩個剪枝條件的生效範圍。注意，樹中的每個節點代表一個選擇，從根節點到葉節點的路徑上的各個節點構成一個排列。

{ class="animation-figure" }

圖 13-9 兩種剪枝條件的作用範圍

49 KiB Raw Blame History

13.2 全排列問題

13.2.1 無相等元素的情況

1. 重複選擇剪枝

2. 程式碼實現

13.2.2 考慮相等元素的情況

1. 相等元素剪枝

2. 程式碼實現

3. 兩種剪枝對比

49 KiB

Raw Blame History