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7.3. 二叉搜索树

「二叉搜索树 Binary Search Tree」满足以下条件：

1. 对于根结点，左子树中所有结点的值 < 根结点的值 < 右子树中所有结点的值；
2. 任意结点的左子树和右子树也是二叉搜索树，即也满足条件 1. ；

7.3.1. 二叉搜索树的操作

查找结点

给定目标结点值 num ，可以根据二叉搜索树的性质来查找。我们声明一个结点 cur ，从二叉树的根结点 root 出发，循环比较结点值 cur.val 和 num 之间的大小关系

• 若 cur.val < num ，说明目标结点在 cur 的右子树中，因此执行 cur = cur.right ；
• 若 cur.val > num ，说明目标结点在 cur 的左子树中，因此执行 cur = cur.left ；
• 若 cur.val = num ，说明找到目标结点，跳出循环并返回该结点即可；

=== "Step 1"

=== "Step 2"

=== "Step 3"

=== "Step 4"

二叉搜索树的查找操作和二分查找算法如出一辙，也是在每轮排除一半情况。循环次数最多为二叉树的高度，当二叉树平衡时，使用 O(\log n) 时间。

=== "Java"

```java title="binary_search_tree.java"
[class]{BinarySearchTree}-[func]{search}
```

=== "C++"

```cpp title="binary_search_tree.cpp"
[class]{BinarySearchTree}-[func]{search}
```

=== "Python"

```python title="binary_search_tree.py"
[class]{BinarySearchTree}-[func]{search}
```

=== "Go"

```go title="binary_search_tree.go"
[class]{binarySearchTree}-[func]{search}
```

=== "JavaScript"

```javascript title="binary_search_tree.js"
[class]{}-[func]{search}
```

=== "TypeScript"

```typescript title="binary_search_tree.ts"
[class]{}-[func]{search}
```

=== "C"

```c title="binary_search_tree.c"

```

=== "C#"

```csharp title="binary_search_tree.cs"
[class]{BinarySearchTree}-[func]{search}
```

=== "Swift"

```swift title="binary_search_tree.swift"
[class]{BinarySearchTree}-[func]{search}
```

=== "Zig"

```zig title="binary_search_tree.zig"
[class]{BinarySearchTree}-[func]{search}
```

插入结点

给定一个待插入元素 num ，为了保持二叉搜索树“左子树 < 根结点 < 右子树”的性质，插入操作分为两步：

1. 查找插入位置：与查找操作类似，我们从根结点出发，根据当前结点值和 num 的大小关系循环向下搜索，直到越过叶结点（遍历到 \text{null} ）时跳出循环；
2. 在该位置插入结点：初始化结点 num ，将该结点放到 \text{null} 的位置 ；

二叉搜索树不允许存在重复结点，否则将会违背其定义。因此若待插入结点在树中已经存在，则不执行插入，直接返回即可。

=== "Java"

```java title="binary_search_tree.java"
[class]{BinarySearchTree}-[func]{insert}
```

=== "C++"

```cpp title="binary_search_tree.cpp"
[class]{BinarySearchTree}-[func]{insert}
```

=== "Python"

```python title="binary_search_tree.py"
[class]{BinarySearchTree}-[func]{insert}
```

=== "Go"

```go title="binary_search_tree.go"
[class]{binarySearchTree}-[func]{insert}
```

=== "JavaScript"

```javascript title="binary_search_tree.js"
[class]{}-[func]{insert}
```

=== "TypeScript"

```typescript title="binary_search_tree.ts"
[class]{}-[func]{insert}
```

=== "C"

```c title="binary_search_tree.c"

```

=== "C#"

```csharp title="binary_search_tree.cs"
[class]{BinarySearchTree}-[func]{insert}
```

=== "Swift"

```swift title="binary_search_tree.swift"
[class]{BinarySearchTree}-[func]{insert}
```

=== "Zig"

```zig title="binary_search_tree.zig"
[class]{BinarySearchTree}-[func]{insert}
```

为了插入结点，需要借助 辅助结点 pre 保存上一轮循环的结点，这样在遍历到 \text{null} 时，我们也可以获取到其父结点，从而完成结点插入操作。

与查找结点相同，插入结点使用 O(\log n) 时间。

删除结点

与插入结点一样，我们需要在删除操作后维持二叉搜索树的“左子树 < 根结点 < 右子树”的性质。首先，我们需要在二叉树中执行查找操作，获取待删除结点。接下来，根据待删除结点的子结点数量，删除操作需要分为三种情况：

当待删除结点的子结点数量 = 0 时，表明待删除结点是叶结点，直接删除即可。

当待删除结点的子结点数量 = 1 时，将待删除结点替换为其子结点即可。

当待删除结点的子结点数量 = 2 时，删除操作分为三步：

1. 找到待删除结点在 中序遍历序列 中的下一个结点，记为 nex ；
2. 在树中递归删除结点 nex ；
3. 使用 nex 替换待删除结点；

=== "Step 1"

=== "Step 2"

=== "Step 3"

=== "Step 4"

删除结点操作也使用 O(\log n) 时间，其中查找待删除结点 O(\log n) ，获取中序遍历后继结点 O(\log n) 。

=== "Java"

```java title="binary_search_tree.java"
[class]{BinarySearchTree}-[func]{remove}

[class]{BinarySearchTree}-[func]{getInOrderNext}
```

=== "C++"

```cpp title="binary_search_tree.cpp"
[class]{BinarySearchTree}-[func]{remove}

[class]{BinarySearchTree}-[func]{getInOrderNext}
```

=== "Python"

```python title="binary_search_tree.py"
[class]{BinarySearchTree}-[func]{remove}

[class]{BinarySearchTree}-[func]{get_inorder_next}
```

=== "Go"

```go title="binary_search_tree.go"
[class]{binarySearchTree}-[func]{remove}

[class]{binarySearchTree}-[func]{getInOrderNext}
```

=== "JavaScript"

```javascript title="binary_search_tree.js"
[class]{}-[func]{remove}

[class]{}-[func]{getInOrderNext}
```

=== "TypeScript"

```typescript title="binary_search_tree.ts"
[class]{}-[func]{remove}

[class]{}-[func]{getInOrderNext}
```

=== "C"

```c title="binary_search_tree.c"

```

=== "C#"

```csharp title="binary_search_tree.cs"
[class]{BinarySearchTree}-[func]{remove}

[class]{BinarySearchTree}-[func]{getInOrderNext}
```

=== "Swift"

```swift title="binary_search_tree.swift"
[class]{BinarySearchTree}-[func]{remove}

[class]{BinarySearchTree}-[func]{getInOrderNext}
```

=== "Zig"

```zig title="binary_search_tree.zig"
[class]{BinarySearchTree}-[func]{remove}

[class]{BinarySearchTree}-[func]{getInOrderNext}
```

排序

我们知道，「中序遍历」遵循“左 \rightarrow 根 \rightarrow 右”的遍历优先级，而二叉搜索树遵循“左子结点 < 根结点 < 右子结点”的大小关系。因此，在二叉搜索树中进行中序遍历时，总是会优先遍历下一个最小结点，从而得出一条重要性质：二叉搜索树的中序遍历序列是升序的。

借助中序遍历升序的性质，我们在二叉搜索树中获取有序数据仅需 O(n) 时间，而无需额外排序，非常高效。

7.3.2. 二叉搜索树的效率

假设给定 n 个数字，最常用的存储方式是「数组」，那么对于这串乱序的数字，常见操作的效率为：

• 查找元素：由于数组是无序的，因此需要遍历数组来确定，使用 O(n) 时间；
• 插入元素：只需将元素添加至数组尾部即可，使用 O(1) 时间；
• 删除元素：先查找元素，使用 O(n) 时间，再在数组中删除该元素，使用 O(n) 时间；
• 获取最小 / 最大元素：需要遍历数组来确定，使用 O(n) 时间；

为了得到先验信息，我们也可以预先将数组元素进行排序，得到一个「排序数组」，此时操作效率为：

• 查找元素：由于数组已排序，可以使用二分查找，平均使用 O(\log n) 时间；
• 插入元素：先查找插入位置，使用 O(\log n) 时间，再插入到指定位置，使用 O(n) 时间；
• 删除元素：先查找元素，使用 O(\log n) 时间，再在数组中删除该元素，使用 O(n) 时间；
• 获取最小 / 最大元素：数组头部和尾部元素即是最小和最大元素，使用 O(1) 时间；

观察发现，无序数组和有序数组中的各项操作的时间复杂度是“偏科”的，即有的快有的慢；而二叉搜索树的各项操作的时间复杂度都是对数阶，在数据量 n 很大时有巨大优势。

	无序数组	有序数组	二叉搜索树
查找指定元素	O(n)	O(\log n)	O(\log n)
插入元素	O(1)	O(n)	O(\log n)
删除元素	O(n)	O(n)	O(\log n)
获取最小 / 最大元素	O(n)	O(1)	O(\log n)

7.3.3. 二叉搜索树的退化

理想情况下，我们希望二叉搜索树的是“左右平衡”的（详见「平衡二叉树」章节），此时可以在 \log n 轮循环内查找任意结点。

如果我们动态地在二叉搜索树中插入与删除结点，则可能导致二叉树退化为链表，此时各种操作的时间复杂度也退化之 O(n) 。

!!! note

在实际应用中，如何保持二叉搜索树的平衡，也是一个需要重要考虑的问题。

7.3.4. 二叉搜索树常见应用

• 系统中的多级索引，高效查找、插入、删除操作。
• 各种搜索算法的底层数据结构。
• 存储数据流，保持其已排序。