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7.3. 二叉树数组表示
在链表表示下，二叉树的存储单元为节点 TreeNode ，节点之间通过指针相连接。在上节中，我们学习了在链表表示下的二叉树的各项基本操作。
那么，能否用「数组」来表示二叉树呢？答案是肯定的。
7.3.1. 表示完美二叉树
先分析一个简单案例，给定一个完美二叉树，我们将节点按照层序遍历的顺序编号（从 0 开始），此时每个节点都对应唯一的索引。
根据层序遍历的特性，我们可以推导出父节点索引与子节点索引之间的“映射公式”：若节点的索引为 i ，则该节点的左子节点索引为 2i + 1 ，右子节点索引为 2i + 2 。
Fig. 完美二叉树的数组表示
映射公式的作用相当于链表中的指针。如果我们将节点按照层序遍历的顺序存储在一个数组中，那么对于数组中的任意节点，我们都可以通过映射公式来访问其子节点。
7.3.2. 表示任意二叉树
然而，完美二叉树只是一个特例。在二叉树的中间层，通常存在许多 \text{None} ，而层序遍历序列并不包含这些 \text{None} 。我们无法仅凭该序列来推测 \text{None} 的数量和分布位置，这意味着存在多种二叉树结构都符合该层序遍历序列。显然在这种情况下，上述的数组表示方法已经失效。
Fig. 层序遍历序列对应多种二叉树可能性
为了解决此问题，我们可以考虑在层序遍历序列中显式地写出所有 \text{None}。如下图所示，这样处理后，层序遍历序列就可以唯一表示二叉树了。
=== "Java"
```java title=""
/* 二叉树的数组表示 */
// 使用 int 的包装类 Integer ，就可以使用 null 来标记空位
Integer[] tree = { 1, 2, 3, 4, null, 6, 7, 8, 9, null, null, 12, null, null, 15 };
```
=== "C++"
```cpp title=""
/* 二叉树的数组表示 */
// 使用 int 最大值 INT_MAX 标记空位
vector<int> tree = {1, 2, 3, 4, INT_MAX, 6, 7, 8, 9, INT_MAX, INT_MAX, 12, INT_MAX, INT_MAX, 15};
```
=== "Python"
```python title=""
# 二叉树的数组表示
# 直接使用 None 来表示空位
tree = [1, 2, 3, 4, None, 6, 7, 8, 9, None, None, 12, None, None, 15]
```
=== "Go"
```go title=""
/* 二叉树的数组表示 */
// 使用 any 类型的切片, 就可以使用 nil 来标记空位
tree := []any{1, 2, 3, 4, nil, 6, 7, 8, 9, nil, nil, 12, nil, nil, 15}
```
=== "JavaScript"
```javascript title=""
/* 二叉树的数组表示 */
// 直接使用 null 来表示空位
let tree = [1, 2, 3, 4, null, 6, 7, 8, 9, null, null, 12, null, null, 15];
```
=== "TypeScript"
```typescript title=""
/* 二叉树的数组表示 */
// 直接使用 null 来表示空位
let tree: (number | null)[] = [1, 2, 3, 4, null, 6, 7, 8, 9, null, null, 12, null, null, 15];
```
=== "C"
```c title=""
/* 二叉树的数组表示 */
// 使用 int 最大值标记空位，因此要求节点值不能为 INT_MAX
int tree[] = {1, 2, 3, 4, INT_MAX, 6, 7, 8, 9, INT_MAX, INT_MAX, 12, INT_MAX, INT_MAX, 15};
```
=== "C#"
```csharp title=""
/* 二叉树的数组表示 */
// 使用 int? 可空类型 ，就可以使用 null 来标记空位
int?[] tree = { 1, 2, 3, 4, null, 6, 7, 8, 9, null, null, 12, null, null, 15 };
```
=== "Swift"
```swift title=""
/* 二叉树的数组表示 */
// 使用 Int? 可空类型 ，就可以使用 nil 来标记空位
let tree: [Int?] = [1, 2, 3, 4, nil, 6, 7, 8, 9, nil, nil, 12, nil, nil, 15]
```
=== "Zig"
```zig title=""
```
=== "Dart"
```dart title=""
/* 二叉树的数组表示 */
// 使用 int? 可空类型 ，就可以使用 null 来标记空位
List<int?> tree = [1, 2, 3, 4, null, 6, 7, 8, 9, null, null, 12, null, null, 15];
```
Fig. 任意类型二叉树的数组表示
以下为数组表示下二叉树的实现，包括：
- 获取节点数量、节点值、左（右）子节点、父节点等基础操作；
- 获取前序遍历、中序遍历、后序遍历、层序遍历的节点值序列；
=== "Java"
```java title="array_binary_tree.java"
/* 数组表示下的二叉树类 */
class ArrayBinaryTree {
private List<Integer> tree;
/* 构造方法 */
public ArrayBinaryTree(List<Integer> arr) {
tree = new ArrayList<>(arr);
}
/* 节点数量 */
public int size() {
return tree.size();
}
/* 获取索引为 i 节点的值 */
public Integer val(int i) {
// 若索引越界，则返回 null ，代表空位
if (i < 0 || i >= size())
return null;
return tree.get(i);
}
/* 获取索引为 i 节点的左子节点的索引 */
public Integer left(int i) {
return 2 * i + 1;
}
/* 获取索引为 i 节点的右子节点的索引 */
public Integer right(int i) {
return 2 * i + 2;
}
/* 获取索引为 i 节点的父节点的索引 */
public Integer parent(int i) {
return (i - 1) / 2;
}
/* 层序遍历 */
public List<Integer> levelOrder() {
List<Integer> res = new ArrayList<>();
// 直接遍历数组
for (int i = 0; i < size(); i++) {
if (val(i) != null)
res.add(val(i));
}
return res;
}
/* 深度优先遍历 */
private void dfs(Integer i, String order, List<Integer> res) {
// 若为空位，则返回
if (val(i) == null)
return;
// 前序遍历
if (order == "pre")
res.add(val(i));
dfs(left(i), order, res);
// 中序遍历
if (order == "in")
res.add(val(i));
dfs(right(i), order, res);
// 后序遍历
if (order == "post")
res.add(val(i));
}
/* 前序遍历 */
public List<Integer> preOrder() {
List<Integer> res = new ArrayList<>();
dfs(0, "pre", res);
return res;
}
/* 中序遍历 */
public List<Integer> inOrder() {
List<Integer> res = new ArrayList<>();
dfs(0, "in", res);
return res;
}
/* 后序遍历 */
public List<Integer> postOrder() {
List<Integer> res = new ArrayList<>();
dfs(0, "post", res);
return res;
}
}
```
=== "C++"
```cpp title="array_binary_tree.cpp"
/* 数组表示下的二叉树类 */
class ArrayBinaryTree {
public:
/* 构造方法 */
ArrayBinaryTree(vector<int> arr) {
tree = arr;
}
/* 节点数量 */
int size() {
return tree.size();
}
/* 获取索引为 i 节点的值 */
int val(int i) {
// 若索引越界，则返回 INT_MAX ，代表空位
if (i < 0 || i >= size())
return INT_MAX;
return tree[i];
}
/* 获取索引为 i 节点的左子节点的索引 */
int left(int i) {
return 2 * i + 1;
}
/* 获取索引为 i 节点的右子节点的索引 */
int right(int i) {
return 2 * i + 2;
}
/* 获取索引为 i 节点的父节点的索引 */
int parent(int i) {
return (i - 1) / 2;
}
/* 层序遍历 */
vector<int> levelOrder() {
vector<int> res;
// 直接遍历数组
for (int i = 0; i < size(); i++) {
if (val(i) != INT_MAX)
res.push_back(val(i));
}
return res;
}
/* 前序遍历 */
vector<int> preOrder() {
vector<int> res;
dfs(0, "pre", res);
return res;
}
/* 中序遍历 */
vector<int> inOrder() {
vector<int> res;
dfs(0, "in", res);
return res;
}
/* 后序遍历 */
vector<int> postOrder() {
vector<int> res;
dfs(0, "post", res);
return res;
}
private:
vector<int> tree;
/* 深度优先遍历 */
void dfs(int i, string order, vector<int> &res) {
// 若为空位，则返回
if (val(i) == INT_MAX)
return;
// 前序遍历
if (order == "pre")
res.push_back(val(i));
dfs(left(i), order, res);
// 中序遍历
if (order == "in")
res.push_back(val(i));
dfs(right(i), order, res);
// 后序遍历
if (order == "post")
res.push_back(val(i));
}
};
```
=== "Python"
```python title="array_binary_tree.py"
class ArrayBinaryTree:
"""数组表示下的二叉树类"""
def __init__(self, arr: list[int | None]):
"""构造方法"""
self.__tree = list(arr)
def size(self):
"""节点数量"""
return len(self.__tree)
def val(self, i: int) -> int:
"""获取索引为 i 节点的值"""
# 若索引越界，则返回 None ，代表空位
if i < 0 or i >= self.size():
return None
return self.__tree[i]
def left(self, i: int) -> int | None:
"""获取索引为 i 节点的左子节点的索引"""
return 2 * i + 1
def right(self, i: int) -> int | None:
"""获取索引为 i 节点的右子节点的索引"""
return 2 * i + 2
def parent(self, i: int) -> int | None:
"""获取索引为 i 节点的父节点的索引"""
return (i - 1) // 2
def level_order(self) -> list[int]:
"""层序遍历"""
self.res = []
# 直接遍历数组
for i in range(self.size()):
if self.val(i) is not None:
self.res.append(self.val(i))
return self.res
def __dfs(self, i: int, order: str):
"""深度优先遍历"""
if self.val(i) is None:
return
# 前序遍历
if order == "pre":
self.res.append(self.val(i))
self.__dfs(self.left(i), order)
# 中序遍历
if order == "in":
self.res.append(self.val(i))
self.__dfs(self.right(i), order)
# 后序遍历
if order == "post":
self.res.append(self.val(i))
def pre_order(self) -> list[int]:
"""前序遍历"""
self.res = []
self.__dfs(0, order="pre")
return self.res
def in_order(self) -> list[int]:
"""中序遍历"""
self.res = []
self.__dfs(0, order="in")
return self.res
def post_order(self) -> list[int]:
"""后序遍历"""
self.res = []
self.__dfs(0, order="post")
return self.res
```
=== "Go"
```go title="array_binary_tree.go"
[class]{arrayBinaryTree}-[func]{}
```
=== "JavaScript"
```javascript title="array_binary_tree.js"
[class]{ArrayBinaryTree}-[func]{}
```
=== "TypeScript"
```typescript title="array_binary_tree.ts"
[class]{ArrayBinaryTree}-[func]{}
```
=== "C"
```c title="array_binary_tree.c"
[class]{arrayBinaryTree}-[func]{}
```
=== "C#"
```csharp title="array_binary_tree.cs"
[class]{ArrayBinaryTree}-[func]{}
```
=== "Swift"
```swift title="array_binary_tree.swift"
[class]{ArrayBinaryTree}-[func]{}
```
=== "Zig"
```zig title="array_binary_tree.zig"
[class]{ArrayBinaryTree}-[func]{}
```
=== "Dart"
```dart title="array_binary_tree.dart"
[class]{ArrayBinaryTree}-[func]{}
```
7.3.3. 优势与局限性
二叉树的数组表示存在以下优点：
- 数组存储在连续的内存空间中，缓存友好，访问与遍历速度较快；
- 不需要存储指针，比较节省空间；
- 允许随机访问节点；
然而，数组表示也具有一些局限性：
- 数组存储需要连续内存空间，因此不适合存储数据量过大的树。
- 增删节点需要通过数组插入与删除操作实现，效率较低；
- 当二叉树中存在大量
\text{None}时，数组中包含的节点数据比重较低，空间利用率较低。
完全二叉树非常适合使用数组来表示。回顾完全二叉树的定义，\text{None} 只出现在最底层且靠右的位置，这意味着所有 \text{None} 一定出现在层序遍历序列的末尾。因此，在使用数组表示完全二叉树时，可以省略存储所有 \text{None} 。
Fig. 完全二叉树的数组表示