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# 空间复杂度
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「空间复杂度 space complexity」用于衡量算法占用内存空间随着数据量变大时的增长趋势。这个概念与时间复杂度非常类似，只需将“运行时间”替换为“占用内存空间”。
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## 算法相关空间
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算法在运行过程中使用的内存空间主要包括以下几种。
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- **输入空间**：用于存储算法的输入数据。
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- **暂存空间**：用于存储算法在运行过程中的变量、对象、函数上下文等数据。
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- **输出空间**：用于存储算法的输出数据。
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一般情况下，空间复杂度的统计范围是“暂存空间”加上“输出空间”。
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暂存空间可以进一步划分为三个部分。
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- **暂存数据**：用于保存算法运行过程中的各种常量、变量、对象等。
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- **栈帧空间**：用于保存调用函数的上下文数据。系统在每次调用函数时都会在栈顶部创建一个栈帧，函数返回后，栈帧空间会被释放。
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- **指令空间**：用于保存编译后的程序指令，在实际统计中通常忽略不计。
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在分析一段程序的空间复杂度时，**我们通常统计暂存数据、栈帧空间和输出数据三部分**。
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=== "Java"
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```java title=""
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/* 类 */
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class Node {
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int val;
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Node next;
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|
Node(int x) { val = x; }
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|
}
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/* 函数 */
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int function() {
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|
// 执行某些操作...
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return 0;
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}
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int algorithm(int n) { // 输入数据
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final int a = 0; // 暂存数据（常量）
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|
int b = 0; // 暂存数据（变量）
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|
Node node = new Node(0); // 暂存数据（对象）
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|
int c = function(); // 栈帧空间（调用函数）
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|
return a + b + c; // 输出数据
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|
}
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```
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=== "C++"
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```cpp title=""
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/* 结构体 */
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struct Node {
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int val;
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|
Node *next;
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Node(int x) : val(x), next(nullptr) {}
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|
};
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|
/* 函数 */
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int func() {
|
|
|
// 执行某些操作...
|
|
|
return 0;
|
|
|
}
|
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|
int algorithm(int n) { // 输入数据
|
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|
const int a = 0; // 暂存数据（常量）
|
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|
int b = 0; // 暂存数据（变量）
|
|
|
Node* node = new Node(0); // 暂存数据（对象）
|
|
|
int c = func(); // 栈帧空间（调用函数）
|
|
|
return a + b + c; // 输出数据
|
|
|
}
|
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|
```
|
|
|
|
|
|
=== "Python"
|
|
|
|
|
|
```python title=""
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|
class Node:
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|
"""类"""
|
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|
def __init__(self, x: int):
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self.val: int = x # 节点值
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|
self.next: Optional[Node] = None # 指向下一节点的引用
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def function() -> int:
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|
"""函数"""
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|
# 执行某些操作...
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return 0
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|
def algorithm(n) -> int: # 输入数据
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|
A = 0 # 暂存数据（常量，一般用大写字母表示）
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|
b = 0 # 暂存数据（变量）
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|
|
node = Node(0) # 暂存数据（对象）
|
|
|
c = function() # 栈帧空间（调用函数）
|
|
|
return A + b + c # 输出数据
|
|
|
```
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|
|
|
|
|
=== "Go"
|
|
|
|
|
|
```go title=""
|
|
|
/* 结构体 */
|
|
|
type node struct {
|
|
|
val int
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|
|
next *node
|
|
|
}
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|
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|
/* 创建 node 结构体 */
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|
func newNode(val int) *node {
|
|
|
return &node{val: val}
|
|
|
}
|
|
|
|
|
|
/* 函数 */
|
|
|
func function() int {
|
|
|
// 执行某些操作...
|
|
|
return 0
|
|
|
}
|
|
|
|
|
|
func algorithm(n int) int { // 输入数据
|
|
|
const a = 0 // 暂存数据（常量）
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|
|
b := 0 // 暂存数据（变量）
|
|
|
newNode(0) // 暂存数据（对象）
|
|
|
c := function() // 栈帧空间（调用函数）
|
|
|
return a + b + c // 输出数据
|
|
|
}
|
|
|
```
|
|
|
|
|
|
=== "JS"
|
|
|
|
|
|
```javascript title=""
|
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|
/* 类 */
|
|
|
class Node {
|
|
|
val;
|
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|
next;
|
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|
constructor(val) {
|
|
|
this.val = val === undefined ? 0 : val; // 节点值
|
|
|
this.next = null; // 指向下一节点的引用
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|
|
}
|
|
|
}
|
|
|
|
|
|
/* 函数 */
|
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function constFunc() {
|
|
|
// 执行某些操作
|
|
|
return 0;
|
|
|
}
|
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|
function algorithm(n) { // 输入数据
|
|
|
const a = 0; // 暂存数据（常量）
|
|
|
let b = 0; // 暂存数据（变量）
|
|
|
const node = new Node(0); // 暂存数据（对象）
|
|
|
const c = constFunc(); // 栈帧空间（调用函数）
|
|
|
return a + b + c; // 输出数据
|
|
|
}
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|
```
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|
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|
=== "TS"
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|
|
|
```typescript title=""
|
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|
/* 类 */
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|
|
class Node {
|
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val: number;
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|
next: Node | null;
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|
|
constructor(val?: number) {
|
|
|
this.val = val === undefined ? 0 : val; // 节点值
|
|
|
this.next = null; // 指向下一节点的引用
|
|
|
}
|
|
|
}
|
|
|
|
|
|
/* 函数 */
|
|
|
function constFunc(): number {
|
|
|
// 执行某些操作
|
|
|
return 0;
|
|
|
}
|
|
|
|
|
|
function algorithm(n: number): number { // 输入数据
|
|
|
const a = 0; // 暂存数据（常量）
|
|
|
let b = 0; // 暂存数据（变量）
|
|
|
const node = new Node(0); // 暂存数据（对象）
|
|
|
const c = constFunc(); // 栈帧空间（调用函数）
|
|
|
return a + b + c; // 输出数据
|
|
|
}
|
|
|
```
|
|
|
|
|
|
=== "C"
|
|
|
|
|
|
```c title=""
|
|
|
/* 函数 */
|
|
|
int func() {
|
|
|
// 执行某些操作...
|
|
|
return 0;
|
|
|
}
|
|
|
|
|
|
int algorithm(int n) { // 输入数据
|
|
|
const int a = 0; // 暂存数据（常量）
|
|
|
int b = 0; // 暂存数据（变量）
|
|
|
int c = func(); // 栈帧空间（调用函数）
|
|
|
return a + b + c; // 输出数据
|
|
|
}
|
|
|
```
|
|
|
|
|
|
=== "C#"
|
|
|
|
|
|
```csharp title=""
|
|
|
/* 类 */
|
|
|
class Node {
|
|
|
int val;
|
|
|
Node next;
|
|
|
Node(int x) { val = x; }
|
|
|
}
|
|
|
|
|
|
/* 函数 */
|
|
|
int function() {
|
|
|
// 执行某些操作...
|
|
|
return 0;
|
|
|
}
|
|
|
|
|
|
int algorithm(int n) { // 输入数据
|
|
|
const int a = 0; // 暂存数据（常量）
|
|
|
int b = 0; // 暂存数据（变量）
|
|
|
Node node = new Node(0); // 暂存数据（对象）
|
|
|
int c = function(); // 栈帧空间（调用函数）
|
|
|
return a + b + c; // 输出数据
|
|
|
}
|
|
|
```
|
|
|
|
|
|
=== "Swift"
|
|
|
|
|
|
```swift title=""
|
|
|
/* 类 */
|
|
|
class Node {
|
|
|
var val: Int
|
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|
var next: Node?
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|
init(x: Int) {
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|
val = x
|
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|
}
|
|
|
}
|
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|
|
|
/* 函数 */
|
|
|
func function() -> Int {
|
|
|
// 执行某些操作...
|
|
|
return 0
|
|
|
}
|
|
|
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|
func algorithm(n: Int) -> Int { // 输入数据
|
|
|
let a = 0 // 暂存数据（常量）
|
|
|
var b = 0 // 暂存数据（变量）
|
|
|
let node = Node(x: 0) // 暂存数据（对象）
|
|
|
let c = function() // 栈帧空间（调用函数）
|
|
|
return a + b + c // 输出数据
|
|
|
}
|
|
|
```
|
|
|
|
|
|
=== "Zig"
|
|
|
|
|
|
```zig title=""
|
|
|
|
|
|
```
|
|
|
|
|
|
=== "Dart"
|
|
|
|
|
|
```dart title=""
|
|
|
/* 类 */
|
|
|
class Node {
|
|
|
int val;
|
|
|
Node next;
|
|
|
Node(this.val, [this.next]);
|
|
|
}
|
|
|
|
|
|
/* 函数 */
|
|
|
int function() {
|
|
|
// 执行某些操作...
|
|
|
return 0;
|
|
|
}
|
|
|
|
|
|
int algorithm(int n) { // 输入数据
|
|
|
const int a = 0; // 暂存数据（常量）
|
|
|
int b = 0; // 暂存数据（变量）
|
|
|
Node node = Node(0); // 暂存数据（对象）
|
|
|
int c = function(); // 栈帧空间（调用函数）
|
|
|
return a + b + c; // 输出数据
|
|
|
}
|
|
|
```
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|
|
|
|
|
=== "Rust"
|
|
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|
|
|
```rust title=""
|
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|
|
```
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## 推算方法
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空间复杂度的推算方法与时间复杂度大致相同，只需将统计对象从“操作数量”转为“使用空间大小”。
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而与时间复杂度不同的是，**我们通常只关注最差空间复杂度**。这是因为内存空间是一项硬性要求，我们必须确保在所有输入数据下都有足够的内存空间预留。
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观察以下代码，最差空间复杂度中的“最差”有两层含义。
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1. **以最差输入数据为准**：当 $n < 10$ 时，空间复杂度为 $O(1)$ ；但当 $n > 10$ 时，初始化的数组 `nums` 占用 $O(n)$ 空间；因此最差空间复杂度为 $O(n)$ 。
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|
2. **以算法运行中的峰值内存为准**：例如，程序在执行最后一行之前，占用 $O(1)$ 空间；当初始化数组 `nums` 时，程序占用 $O(n)$ 空间；因此最差空间复杂度为 $O(n)$ 。
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=== "Java"
|
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|
```java title=""
|
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|
void algorithm(int n) {
|
|
|
int a = 0; // O(1)
|
|
|
int[] b = new int[10000]; // O(1)
|
|
|
if (n > 10)
|
|
|
int[] nums = new int[n]; // O(n)
|
|
|
}
|
|
|
```
|
|
|
|
|
|
=== "C++"
|
|
|
|
|
|
```cpp title=""
|
|
|
void algorithm(int n) {
|
|
|
int a = 0; // O(1)
|
|
|
vector<int> b(10000); // O(1)
|
|
|
if (n > 10)
|
|
|
vector<int> nums(n); // O(n)
|
|
|
}
|
|
|
```
|
|
|
|
|
|
=== "Python"
|
|
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|
|
|
```python title=""
|
|
|
def algorithm(n: int):
|
|
|
a = 0 # O(1)
|
|
|
b = [0] * 10000 # O(1)
|
|
|
if n > 10:
|
|
|
nums = [0] * n # O(n)
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|
|
```
|
|
|
|
|
|
=== "Go"
|
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|
|
|
```go title=""
|
|
|
func algorithm(n int) {
|
|
|
a := 0 // O(1)
|
|
|
b := make([]int, 10000) // O(1)
|
|
|
var nums []int
|
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|
if n > 10 {
|
|
|
nums := make([]int, n) // O(n)
|
|
|
}
|
|
|
fmt.Println(a, b, nums)
|
|
|
}
|
|
|
```
|
|
|
|
|
|
=== "JS"
|
|
|
|
|
|
```javascript title=""
|
|
|
function algorithm(n) {
|
|
|
const a = 0; // O(1)
|
|
|
const b = new Array(10000); // O(1)
|
|
|
if (n > 10) {
|
|
|
const nums = new Array(n); // O(n)
|
|
|
}
|
|
|
}
|
|
|
```
|
|
|
|
|
|
=== "TS"
|
|
|
|
|
|
```typescript title=""
|
|
|
function algorithm(n: number): void {
|
|
|
const a = 0; // O(1)
|
|
|
const b = new Array(10000); // O(1)
|
|
|
if (n > 10) {
|
|
|
const nums = new Array(n); // O(n)
|
|
|
}
|
|
|
}
|
|
|
```
|
|
|
|
|
|
=== "C"
|
|
|
|
|
|
```c title=""
|
|
|
void algorithm(int n) {
|
|
|
int a = 0; // O(1)
|
|
|
int b[10000]; // O(1)
|
|
|
if (n > 10)
|
|
|
int nums[n] = {0}; // O(n)
|
|
|
}
|
|
|
```
|
|
|
|
|
|
=== "C#"
|
|
|
|
|
|
```csharp title=""
|
|
|
void algorithm(int n) {
|
|
|
int a = 0; // O(1)
|
|
|
int[] b = new int[10000]; // O(1)
|
|
|
if (n > 10) {
|
|
|
int[] nums = new int[n]; // O(n)
|
|
|
}
|
|
|
}
|
|
|
```
|
|
|
|
|
|
=== "Swift"
|
|
|
|
|
|
```swift title=""
|
|
|
func algorithm(n: Int) {
|
|
|
let a = 0 // O(1)
|
|
|
let b = Array(repeating: 0, count: 10000) // O(1)
|
|
|
if n > 10 {
|
|
|
let nums = Array(repeating: 0, count: n) // O(n)
|
|
|
}
|
|
|
}
|
|
|
```
|
|
|
|
|
|
=== "Zig"
|
|
|
|
|
|
```zig title=""
|
|
|
|
|
|
```
|
|
|
|
|
|
=== "Dart"
|
|
|
|
|
|
```dart title=""
|
|
|
void algorithm(int n) {
|
|
|
int a = 0; // O(1)
|
|
|
List<int> b = List.filled(10000, 0); // O(1)
|
|
|
if (n > 10) {
|
|
|
List<int> nums = List.filled(n, 0); // O(n)
|
|
|
}
|
|
|
}
|
|
|
```
|
|
|
|
|
|
=== "Rust"
|
|
|
|
|
|
```rust title=""
|
|
|
|
|
|
```
|
|
|
|
|
|
**在递归函数中，需要注意统计栈帧空间**。例如在以下代码中：
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|
- 函数 `loop()` 在循环中调用了 $n$ 次 `function()` ，每轮中的 `function()` 都返回并释放了栈帧空间，因此空间复杂度仍为 $O(1)$ 。
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|
|
- 递归函数 `recur()` 在运行过程中会同时存在 $n$ 个未返回的 `recur()` ，从而占用 $O(n)$ 的栈帧空间。
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|
|
|
|
|
=== "Java"
|
|
|
|
|
|
```java title=""
|
|
|
int function() {
|
|
|
// 执行某些操作
|
|
|
return 0;
|
|
|
}
|
|
|
/* 循环 O(1) */
|
|
|
void loop(int n) {
|
|
|
for (int i = 0; i < n; i++) {
|
|
|
function();
|
|
|
}
|
|
|
}
|
|
|
/* 递归 O(n) */
|
|
|
void recur(int n) {
|
|
|
if (n == 1) return;
|
|
|
return recur(n - 1);
|
|
|
}
|
|
|
```
|
|
|
|
|
|
=== "C++"
|
|
|
|
|
|
```cpp title=""
|
|
|
int func() {
|
|
|
// 执行某些操作
|
|
|
return 0;
|
|
|
}
|
|
|
/* 循环 O(1) */
|
|
|
void loop(int n) {
|
|
|
for (int i = 0; i < n; i++) {
|
|
|
func();
|
|
|
}
|
|
|
}
|
|
|
/* 递归 O(n) */
|
|
|
void recur(int n) {
|
|
|
if (n == 1) return;
|
|
|
return recur(n - 1);
|
|
|
}
|
|
|
```
|
|
|
|
|
|
=== "Python"
|
|
|
|
|
|
```python title=""
|
|
|
def function() -> int:
|
|
|
# 执行某些操作
|
|
|
return 0
|
|
|
|
|
|
def loop(n: int):
|
|
|
"""循环 O(1)"""
|
|
|
for _ in range(n):
|
|
|
function()
|
|
|
|
|
|
def recur(n: int) -> int:
|
|
|
"""递归 O(n)"""
|
|
|
if n == 1: return
|
|
|
return recur(n - 1)
|
|
|
```
|
|
|
|
|
|
=== "Go"
|
|
|
|
|
|
```go title=""
|
|
|
func function() int {
|
|
|
// 执行某些操作
|
|
|
return 0
|
|
|
}
|
|
|
|
|
|
/* 循环 O(1) */
|
|
|
func loop(n int) {
|
|
|
for i := 0; i < n; i++ {
|
|
|
function()
|
|
|
}
|
|
|
}
|
|
|
|
|
|
/* 递归 O(n) */
|
|
|
func recur(n int) {
|
|
|
if n == 1 {
|
|
|
return
|
|
|
}
|
|
|
recur(n - 1)
|
|
|
}
|
|
|
```
|
|
|
|
|
|
=== "JS"
|
|
|
|
|
|
```javascript title=""
|
|
|
function constFunc() {
|
|
|
// 执行某些操作
|
|
|
return 0;
|
|
|
}
|
|
|
/* 循环 O(1) */
|
|
|
function loop(n) {
|
|
|
for (let i = 0; i < n; i++) {
|
|
|
constFunc();
|
|
|
}
|
|
|
}
|
|
|
/* 递归 O(n) */
|
|
|
function recur(n) {
|
|
|
if (n === 1) return;
|
|
|
return recur(n - 1);
|
|
|
}
|
|
|
```
|
|
|
|
|
|
=== "TS"
|
|
|
|
|
|
```typescript title=""
|
|
|
function constFunc(): number {
|
|
|
// 执行某些操作
|
|
|
return 0;
|
|
|
}
|
|
|
/* 循环 O(1) */
|
|
|
function loop(n: number): void {
|
|
|
for (let i = 0; i < n; i++) {
|
|
|
constFunc();
|
|
|
}
|
|
|
}
|
|
|
/* 递归 O(n) */
|
|
|
function recur(n: number): void {
|
|
|
if (n === 1) return;
|
|
|
return recur(n - 1);
|
|
|
}
|
|
|
```
|
|
|
|
|
|
=== "C"
|
|
|
|
|
|
```c title=""
|
|
|
int func() {
|
|
|
// 执行某些操作
|
|
|
return 0;
|
|
|
}
|
|
|
/* 循环 O(1) */
|
|
|
void loop(int n) {
|
|
|
for (int i = 0; i < n; i++) {
|
|
|
func();
|
|
|
}
|
|
|
}
|
|
|
/* 递归 O(n) */
|
|
|
void recur(int n) {
|
|
|
if (n == 1) return;
|
|
|
return recur(n - 1);
|
|
|
}
|
|
|
```
|
|
|
|
|
|
=== "C#"
|
|
|
|
|
|
```csharp title=""
|
|
|
int function() {
|
|
|
// 执行某些操作
|
|
|
return 0;
|
|
|
}
|
|
|
/* 循环 O(1) */
|
|
|
void loop(int n) {
|
|
|
for (int i = 0; i < n; i++) {
|
|
|
function();
|
|
|
}
|
|
|
}
|
|
|
/* 递归 O(n) */
|
|
|
int recur(int n) {
|
|
|
if (n == 1) return 1;
|
|
|
return recur(n - 1);
|
|
|
}
|
|
|
```
|
|
|
|
|
|
=== "Swift"
|
|
|
|
|
|
```swift title=""
|
|
|
@discardableResult
|
|
|
func function() -> Int {
|
|
|
// 执行某些操作
|
|
|
return 0
|
|
|
}
|
|
|
|
|
|
/* 循环 O(1) */
|
|
|
func loop(n: Int) {
|
|
|
for _ in 0 ..< n {
|
|
|
function()
|
|
|
}
|
|
|
}
|
|
|
|
|
|
/* 递归 O(n) */
|
|
|
func recur(n: Int) {
|
|
|
if n == 1 {
|
|
|
return
|
|
|
}
|
|
|
recur(n: n - 1)
|
|
|
}
|
|
|
```
|
|
|
|
|
|
=== "Zig"
|
|
|
|
|
|
```zig title=""
|
|
|
|
|
|
```
|
|
|
|
|
|
=== "Dart"
|
|
|
|
|
|
```dart title=""
|
|
|
int function() {
|
|
|
// 执行某些操作
|
|
|
return 0;
|
|
|
}
|
|
|
/* 循环 O(1) */
|
|
|
void loop(int n) {
|
|
|
for (int i = 0; i < n; i++) {
|
|
|
function();
|
|
|
}
|
|
|
}
|
|
|
/* 递归 O(n) */
|
|
|
void recur(int n) {
|
|
|
if (n == 1) return;
|
|
|
return recur(n - 1);
|
|
|
}
|
|
|
```
|
|
|
|
|
|
=== "Rust"
|
|
|
|
|
|
```rust title=""
|
|
|
|
|
|
```
|
|
|
|
|
|
## 常见类型
|
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|
|
|
|
设输入数据大小为 $n$ ，下图展示了常见的空间复杂度类型（从低到高排列）。
|
|
|
|
|
|
$$
|
|
|
\begin{aligned}
|
|
|
O(1) < O(\log n) < O(n) < O(n^2) < O(2^n) \newline
|
|
|
\text{常数阶} < \text{对数阶} < \text{线性阶} < \text{平方阶} < \text{指数阶}
|
|
|
\end{aligned}
|
|
|
$$
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
!!! tip
|
|
|
|
|
|
部分示例代码需要一些前置知识，包括数组、链表、二叉树、递归算法等。如果你遇到看不懂的地方，可以在学完后面章节后再来复习。
|
|
|
|
|
|
### 常数阶 $O(1)$
|
|
|
|
|
|
常数阶常见于数量与输入数据大小 $n$ 无关的常量、变量、对象。
|
|
|
|
|
|
需要注意的是，在循环中初始化变量或调用函数而占用的内存，在进入下一循环后就会被释放，即不会累积占用空间，空间复杂度仍为 $O(1)$ ：
|
|
|
|
|
|
=== "Java"
|
|
|
|
|
|
```java title="space_complexity.java"
|
|
|
[class]{space_complexity}-[func]{function}
|
|
|
|
|
|
[class]{space_complexity}-[func]{constant}
|
|
|
```
|
|
|
|
|
|
=== "C++"
|
|
|
|
|
|
```cpp title="space_complexity.cpp"
|
|
|
[class]{}-[func]{func}
|
|
|
|
|
|
[class]{}-[func]{constant}
|
|
|
```
|
|
|
|
|
|
=== "Python"
|
|
|
|
|
|
```python title="space_complexity.py"
|
|
|
[class]{}-[func]{function}
|
|
|
|
|
|
[class]{}-[func]{constant}
|
|
|
```
|
|
|
|
|
|
=== "Go"
|
|
|
|
|
|
```go title="space_complexity.go"
|
|
|
[class]{}-[func]{function}
|
|
|
|
|
|
[class]{}-[func]{spaceConstant}
|
|
|
```
|
|
|
|
|
|
=== "JS"
|
|
|
|
|
|
```javascript title="space_complexity.js"
|
|
|
[class]{}-[func]{constFunc}
|
|
|
|
|
|
[class]{}-[func]{constant}
|
|
|
```
|
|
|
|
|
|
=== "TS"
|
|
|
|
|
|
```typescript title="space_complexity.ts"
|
|
|
[class]{}-[func]{constFunc}
|
|
|
|
|
|
[class]{}-[func]{constant}
|
|
|
```
|
|
|
|
|
|
=== "C"
|
|
|
|
|
|
```c title="space_complexity.c"
|
|
|
[class]{}-[func]{func}
|
|
|
|
|
|
[class]{}-[func]{constant}
|
|
|
```
|
|
|
|
|
|
=== "C#"
|
|
|
|
|
|
```csharp title="space_complexity.cs"
|
|
|
[class]{space_complexity}-[func]{function}
|
|
|
|
|
|
[class]{space_complexity}-[func]{constant}
|
|
|
```
|
|
|
|
|
|
=== "Swift"
|
|
|
|
|
|
```swift title="space_complexity.swift"
|
|
|
[class]{}-[func]{function}
|
|
|
|
|
|
[class]{}-[func]{constant}
|
|
|
```
|
|
|
|
|
|
=== "Zig"
|
|
|
|
|
|
```zig title="space_complexity.zig"
|
|
|
[class]{}-[func]{function}
|
|
|
|
|
|
[class]{}-[func]{constant}
|
|
|
```
|
|
|
|
|
|
=== "Dart"
|
|
|
|
|
|
```dart title="space_complexity.dart"
|
|
|
[class]{}-[func]{function}
|
|
|
|
|
|
[class]{}-[func]{constant}
|
|
|
```
|
|
|
|
|
|
=== "Rust"
|
|
|
|
|
|
```rust title="space_complexity.rs"
|
|
|
[class]{}-[func]{function}
|
|
|
|
|
|
[class]{}-[func]{constant}
|
|
|
```
|
|
|
|
|
|
### 线性阶 $O(n)$
|
|
|
|
|
|
线性阶常见于元素数量与 $n$ 成正比的数组、链表、栈、队列等：
|
|
|
|
|
|
=== "Java"
|
|
|
|
|
|
```java title="space_complexity.java"
|
|
|
[class]{space_complexity}-[func]{linear}
|
|
|
```
|
|
|
|
|
|
=== "C++"
|
|
|
|
|
|
```cpp title="space_complexity.cpp"
|
|
|
[class]{}-[func]{linear}
|
|
|
```
|
|
|
|
|
|
=== "Python"
|
|
|
|
|
|
```python title="space_complexity.py"
|
|
|
[class]{}-[func]{linear}
|
|
|
```
|
|
|
|
|
|
=== "Go"
|
|
|
|
|
|
```go title="space_complexity.go"
|
|
|
[class]{}-[func]{spaceLinear}
|
|
|
```
|
|
|
|
|
|
=== "JS"
|
|
|
|
|
|
```javascript title="space_complexity.js"
|
|
|
[class]{}-[func]{linear}
|
|
|
```
|
|
|
|
|
|
=== "TS"
|
|
|
|
|
|
```typescript title="space_complexity.ts"
|
|
|
[class]{}-[func]{linear}
|
|
|
```
|
|
|
|
|
|
=== "C"
|
|
|
|
|
|
```c title="space_complexity.c"
|
|
|
[class]{hashTable}-[func]{}
|
|
|
|
|
|
[class]{}-[func]{linear}
|
|
|
```
|
|
|
|
|
|
=== "C#"
|
|
|
|
|
|
```csharp title="space_complexity.cs"
|
|
|
[class]{space_complexity}-[func]{linear}
|
|
|
```
|
|
|
|
|
|
=== "Swift"
|
|
|
|
|
|
```swift title="space_complexity.swift"
|
|
|
[class]{}-[func]{linear}
|
|
|
```
|
|
|
|
|
|
=== "Zig"
|
|
|
|
|
|
```zig title="space_complexity.zig"
|
|
|
[class]{}-[func]{linear}
|
|
|
```
|
|
|
|
|
|
=== "Dart"
|
|
|
|
|
|
```dart title="space_complexity.dart"
|
|
|
[class]{}-[func]{linear}
|
|
|
```
|
|
|
|
|
|
=== "Rust"
|
|
|
|
|
|
```rust title="space_complexity.rs"
|
|
|
[class]{}-[func]{linear}
|
|
|
```
|
|
|
|
|
|
以下函数的递归深度为 $n$ ，即同时存在 $n$ 个未返回的 `linear_recur()` 函数，使用 $O(n)$ 大小的栈帧空间：
|
|
|
|
|
|
=== "Java"
|
|
|
|
|
|
```java title="space_complexity.java"
|
|
|
[class]{space_complexity}-[func]{linearRecur}
|
|
|
```
|
|
|
|
|
|
=== "C++"
|
|
|
|
|
|
```cpp title="space_complexity.cpp"
|
|
|
[class]{}-[func]{linearRecur}
|
|
|
```
|
|
|
|
|
|
=== "Python"
|
|
|
|
|
|
```python title="space_complexity.py"
|
|
|
[class]{}-[func]{linear_recur}
|
|
|
```
|
|
|
|
|
|
=== "Go"
|
|
|
|
|
|
```go title="space_complexity.go"
|
|
|
[class]{}-[func]{spaceLinearRecur}
|
|
|
```
|
|
|
|
|
|
=== "JS"
|
|
|
|
|
|
```javascript title="space_complexity.js"
|
|
|
[class]{}-[func]{linearRecur}
|
|
|
```
|
|
|
|
|
|
=== "TS"
|
|
|
|
|
|
```typescript title="space_complexity.ts"
|
|
|
[class]{}-[func]{linearRecur}
|
|
|
```
|
|
|
|
|
|
=== "C"
|
|
|
|
|
|
```c title="space_complexity.c"
|
|
|
[class]{}-[func]{linearRecur}
|
|
|
```
|
|
|
|
|
|
=== "C#"
|
|
|
|
|
|
```csharp title="space_complexity.cs"
|
|
|
[class]{space_complexity}-[func]{linearRecur}
|
|
|
```
|
|
|
|
|
|
=== "Swift"
|
|
|
|
|
|
```swift title="space_complexity.swift"
|
|
|
[class]{}-[func]{linearRecur}
|
|
|
```
|
|
|
|
|
|
=== "Zig"
|
|
|
|
|
|
```zig title="space_complexity.zig"
|
|
|
[class]{}-[func]{linearRecur}
|
|
|
```
|
|
|
|
|
|
=== "Dart"
|
|
|
|
|
|
```dart title="space_complexity.dart"
|
|
|
[class]{}-[func]{linearRecur}
|
|
|
```
|
|
|
|
|
|
=== "Rust"
|
|
|
|
|
|
```rust title="space_complexity.rs"
|
|
|
[class]{}-[func]{linear_recur}
|
|
|
```
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
### 平方阶 $O(n^2)$
|
|
|
|
|
|
平方阶常见于矩阵和图，元素数量与 $n$ 成平方关系：
|
|
|
|
|
|
=== "Java"
|
|
|
|
|
|
```java title="space_complexity.java"
|
|
|
[class]{space_complexity}-[func]{quadratic}
|
|
|
```
|
|
|
|
|
|
=== "C++"
|
|
|
|
|
|
```cpp title="space_complexity.cpp"
|
|
|
[class]{}-[func]{quadratic}
|
|
|
```
|
|
|
|
|
|
=== "Python"
|
|
|
|
|
|
```python title="space_complexity.py"
|
|
|
[class]{}-[func]{quadratic}
|
|
|
```
|
|
|
|
|
|
=== "Go"
|
|
|
|
|
|
```go title="space_complexity.go"
|
|
|
[class]{}-[func]{spaceQuadratic}
|
|
|
```
|
|
|
|
|
|
=== "JS"
|
|
|
|
|
|
```javascript title="space_complexity.js"
|
|
|
[class]{}-[func]{quadratic}
|
|
|
```
|
|
|
|
|
|
=== "TS"
|
|
|
|
|
|
```typescript title="space_complexity.ts"
|
|
|
[class]{}-[func]{quadratic}
|
|
|
```
|
|
|
|
|
|
=== "C"
|
|
|
|
|
|
```c title="space_complexity.c"
|
|
|
[class]{}-[func]{quadratic}
|
|
|
```
|
|
|
|
|
|
=== "C#"
|
|
|
|
|
|
```csharp title="space_complexity.cs"
|
|
|
[class]{space_complexity}-[func]{quadratic}
|
|
|
```
|
|
|
|
|
|
=== "Swift"
|
|
|
|
|
|
```swift title="space_complexity.swift"
|
|
|
[class]{}-[func]{quadratic}
|
|
|
```
|
|
|
|
|
|
=== "Zig"
|
|
|
|
|
|
```zig title="space_complexity.zig"
|
|
|
[class]{}-[func]{quadratic}
|
|
|
```
|
|
|
|
|
|
=== "Dart"
|
|
|
|
|
|
```dart title="space_complexity.dart"
|
|
|
[class]{}-[func]{quadratic}
|
|
|
```
|
|
|
|
|
|
=== "Rust"
|
|
|
|
|
|
```rust title="space_complexity.rs"
|
|
|
[class]{}-[func]{quadratic}
|
|
|
```
|
|
|
|
|
|
以下函数的递归深度为 $n$ ，在每个递归函数中都初始化了一个数组，长度分别为 $n, n-1, n-2, ..., 2, 1$ ，平均长度为 $n / 2$ ，因此总体占用 $O(n^2)$ 空间。
|
|
|
|
|
|
=== "Java"
|
|
|
|
|
|
```java title="space_complexity.java"
|
|
|
[class]{space_complexity}-[func]{quadraticRecur}
|
|
|
```
|
|
|
|
|
|
=== "C++"
|
|
|
|
|
|
```cpp title="space_complexity.cpp"
|
|
|
[class]{}-[func]{quadraticRecur}
|
|
|
```
|
|
|
|
|
|
=== "Python"
|
|
|
|
|
|
```python title="space_complexity.py"
|
|
|
[class]{}-[func]{quadratic_recur}
|
|
|
```
|
|
|
|
|
|
=== "Go"
|
|
|
|
|
|
```go title="space_complexity.go"
|
|
|
[class]{}-[func]{spaceQuadraticRecur}
|
|
|
```
|
|
|
|
|
|
=== "JS"
|
|
|
|
|
|
```javascript title="space_complexity.js"
|
|
|
[class]{}-[func]{quadraticRecur}
|
|
|
```
|
|
|
|
|
|
=== "TS"
|
|
|
|
|
|
```typescript title="space_complexity.ts"
|
|
|
[class]{}-[func]{quadraticRecur}
|
|
|
```
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=== "C"
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```c title="space_complexity.c"
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[class]{}-[func]{quadraticRecur}
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```
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=== "C#"
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```csharp title="space_complexity.cs"
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[class]{space_complexity}-[func]{quadraticRecur}
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```
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=== "Swift"
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```swift title="space_complexity.swift"
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[class]{}-[func]{quadraticRecur}
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```
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=== "Zig"
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```zig title="space_complexity.zig"
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[class]{}-[func]{quadraticRecur}
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```
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=== "Dart"
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```dart title="space_complexity.dart"
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[class]{}-[func]{quadraticRecur}
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```
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=== "Rust"
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```rust title="space_complexity.rs"
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[class]{}-[func]{quadratic_recur}
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```
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### 指数阶 $O(2^n)$
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指数阶常见于二叉树。高度为 $n$ 的“满二叉树”的节点数量为 $2^n - 1$ ，占用 $O(2^n)$ 空间：
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=== "Java"
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```java title="space_complexity.java"
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[class]{space_complexity}-[func]{buildTree}
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```
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=== "C++"
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```cpp title="space_complexity.cpp"
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[class]{}-[func]{buildTree}
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```
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=== "Python"
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```python title="space_complexity.py"
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[class]{}-[func]{build_tree}
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```
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=== "Go"
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```go title="space_complexity.go"
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[class]{}-[func]{buildTree}
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```
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=== "JS"
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```javascript title="space_complexity.js"
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[class]{}-[func]{buildTree}
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```
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=== "TS"
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```typescript title="space_complexity.ts"
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[class]{}-[func]{buildTree}
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```
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=== "C"
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```c title="space_complexity.c"
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[class]{}-[func]{buildTree}
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```
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|
=== "C#"
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```csharp title="space_complexity.cs"
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[class]{space_complexity}-[func]{buildTree}
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```
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=== "Swift"
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```swift title="space_complexity.swift"
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[class]{}-[func]{buildTree}
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```
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=== "Zig"
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```zig title="space_complexity.zig"
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[class]{}-[func]{buildTree}
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```
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=== "Dart"
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```dart title="space_complexity.dart"
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[class]{}-[func]{buildTree}
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```
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=== "Rust"
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```rust title="space_complexity.rs"
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[class]{}-[func]{build_tree}
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```
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### 对数阶 $O(\log n)$
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对数阶常见于分治算法。例如归并排序，输入长度为 $n$ 的数组，每轮递归将数组从中点划分为两半，形成高度为 $\log n$ 的递归树，使用 $O(\log n)$ 栈帧空间。
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再例如将数字转化为字符串，输入一个正整数 $n$ ，它的位数为 $\log_{10} n + 1$ ，即对应字符串长度为 $\log_{10} n + 1$ ，因此空间复杂度为 $O(\log_{10} n + 1) = O(\log n)$ 。
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## 权衡时间与空间
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理想情况下，我们希望算法的时间复杂度和空间复杂度都能达到最优。然而在实际情况中，同时优化时间复杂度和空间复杂度通常是非常困难的。
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**降低时间复杂度通常需要以提升空间复杂度为代价，反之亦然**。我们将牺牲内存空间来提升算法运行速度的思路称为“以空间换时间”；反之，则称为“以时间换空间”。
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选择哪种思路取决于我们更看重哪个方面。在大多数情况下，时间比空间更宝贵，因此“以空间换时间”通常是更常用的策略。当然，在数据量很大的情况下，控制空间复杂度也是非常重要的。
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