56 KiB

Raw Blame History Unescape Escape

comments
true

9.3 图的遍历

树代表的是“一对多”的关系，而图则具有更高的自由度，可以表示任意的“多对多”关系。因此，我们可以把树看作图的一种特例。显然，树的遍历操作也是图的遍历操作的一种特例。

图和树都需要应用搜索算法来实现遍历操作。图的遍历方式也可分为两种：广度优先遍历和深度优先遍历。

9.3.1 广度优先遍历

广度优先遍历是一种由近及远的遍历方式，从某个节点出发，始终优先访问距离最近的顶点，并一层层向外扩张。如图 9-9 所示，从左上角顶点出发，首先遍历该顶点的所有邻接顶点，然后遍历下一个顶点的所有邻接顶点，以此类推，直至所有顶点访问完毕。

{ class="animation-figure" }

图 9-9 图的广度优先遍历

1. 算法实现

BFS 通常借助队列来实现，代码如下所示。队列具有“先入先出”的性质，这与 BFS 的“由近及远”的思想异曲同工。

将遍历起始顶点 startVet 加入队列，并开启循环。
在循环的每轮迭代中，弹出队首顶点并记录访问，然后将该顶点的所有邻接顶点加入到队列尾部。
循环步骤 2. ，直到所有顶点被访问完毕后结束。

为了防止重复遍历顶点，我们需要借助一个哈希表 visited 来记录哪些节点已被访问。

=== "Python"

```python title="graph_bfs.py"
def graph_bfs(graph: GraphAdjList, start_vet: Vertex) -> list[Vertex]:
    """广度优先遍历"""
    # 使用邻接表来表示图，以便获取指定顶点的所有邻接顶点
    # 顶点遍历序列
    res = []
    # 哈希表，用于记录已被访问过的顶点
    visited = set[Vertex]([start_vet])
    # 队列用于实现 BFS
    que = deque[Vertex]([start_vet])
    # 以顶点 vet 为起点，循环直至访问完所有顶点
    while len(que) > 0:
        vet = que.popleft()  # 队首顶点出队
        res.append(vet)  # 记录访问顶点
        # 遍历该顶点的所有邻接顶点
        for adj_vet in graph.adj_list[vet]:
            if adj_vet in visited:
                continue  # 跳过已被访问的顶点
            que.append(adj_vet)  # 只入队未访问的顶点
            visited.add(adj_vet)  # 标记该顶点已被访问
    # 返回顶点遍历序列
    return res
```

=== "C++"

```cpp title="graph_bfs.cpp"
/* 广度优先遍历 */
// 使用邻接表来表示图，以便获取指定顶点的所有邻接顶点
vector<Vertex *> graphBFS(GraphAdjList &graph, Vertex *startVet) {
    // 顶点遍历序列
    vector<Vertex *> res;
    // 哈希表，用于记录已被访问过的顶点
    unordered_set<Vertex *> visited = {startVet};
    // 队列用于实现 BFS
    queue<Vertex *> que;
    que.push(startVet);
    // 以顶点 vet 为起点，循环直至访问完所有顶点
    while (!que.empty()) {
        Vertex *vet = que.front();
        que.pop();          // 队首顶点出队
        res.push_back(vet); // 记录访问顶点
        // 遍历该顶点的所有邻接顶点
        for (auto adjVet : graph.adjList[vet]) {
            if (visited.count(adjVet))
                continue;            // 跳过已被访问的顶点
            que.push(adjVet);        // 只入队未访问的顶点
            visited.emplace(adjVet); // 标记该顶点已被访问
        }
    }
    // 返回顶点遍历序列
    return res;
}
```

=== "Java"

```java title="graph_bfs.java"
/* 广度优先遍历 */
// 使用邻接表来表示图，以便获取指定顶点的所有邻接顶点
List<Vertex> graphBFS(GraphAdjList graph, Vertex startVet) {
    // 顶点遍历序列
    List<Vertex> res = new ArrayList<>();
    // 哈希表，用于记录已被访问过的顶点
    Set<Vertex> visited = new HashSet<>();
    visited.add(startVet);
    // 队列用于实现 BFS
    Queue<Vertex> que = new LinkedList<>();
    que.offer(startVet);
    // 以顶点 vet 为起点，循环直至访问完所有顶点
    while (!que.isEmpty()) {
        Vertex vet = que.poll(); // 队首顶点出队
        res.add(vet);            // 记录访问顶点
        // 遍历该顶点的所有邻接顶点
        for (Vertex adjVet : graph.adjList.get(vet)) {
            if (visited.contains(adjVet))
                continue;        // 跳过已被访问的顶点
            que.offer(adjVet);   // 只入队未访问的顶点
            visited.add(adjVet); // 标记该顶点已被访问
        }
    }
    // 返回顶点遍历序列
    return res;
}
```

=== "C#"

```csharp title="graph_bfs.cs"
/* 广度优先遍历 */
// 使用邻接表来表示图，以便获取指定顶点的所有邻接顶点
List<Vertex> GraphBFS(GraphAdjList graph, Vertex startVet) {
    // 顶点遍历序列
    List<Vertex> res = [];
    // 哈希表，用于记录已被访问过的顶点
    HashSet<Vertex> visited = [startVet];
    // 队列用于实现 BFS
    Queue<Vertex> que = new();
    que.Enqueue(startVet);
    // 以顶点 vet 为起点，循环直至访问完所有顶点
    while (que.Count > 0) {
        Vertex vet = que.Dequeue(); // 队首顶点出队
        res.Add(vet);               // 记录访问顶点
        foreach (Vertex adjVet in graph.adjList[vet]) {
            if (visited.Contains(adjVet)) {
                continue;          // 跳过已被访问的顶点
            }
            que.Enqueue(adjVet);   // 只入队未访问的顶点
            visited.Add(adjVet);   // 标记该顶点已被访问
        }
    }

    // 返回顶点遍历序列
    return res;
}
```

=== "Go"

```go title="graph_bfs.go"
/* 广度优先遍历 */
// 使用邻接表来表示图，以便获取指定顶点的所有邻接顶点
func graphBFS(g *graphAdjList, startVet Vertex) []Vertex {
    // 顶点遍历序列
    res := make([]Vertex, 0)
    // 哈希表，用于记录已被访问过的顶点
    visited := make(map[Vertex]struct{})
    visited[startVet] = struct{}{}
    // 队列用于实现 BFS, 使用切片模拟队列
    queue := make([]Vertex, 0)
    queue = append(queue, startVet)
    // 以顶点 vet 为起点，循环直至访问完所有顶点
    for len(queue) > 0 {
        // 队首顶点出队
        vet := queue[0]
        queue = queue[1:]
        // 记录访问顶点
        res = append(res, vet)
        // 遍历该顶点的所有邻接顶点
        for _, adjVet := range g.adjList[vet] {
            _, isExist := visited[adjVet]
            // 只入队未访问的顶点
            if !isExist {
                queue = append(queue, adjVet)
                visited[adjVet] = struct{}{}
            }
        }
    }
    // 返回顶点遍历序列
    return res
}
```

=== "Swift"

```swift title="graph_bfs.swift"
/* 广度优先遍历 */
// 使用邻接表来表示图，以便获取指定顶点的所有邻接顶点
func graphBFS(graph: GraphAdjList, startVet: Vertex) -> [Vertex] {
    // 顶点遍历序列
    var res: [Vertex] = []
    // 哈希表，用于记录已被访问过的顶点
    var visited: Set<Vertex> = [startVet]
    // 队列用于实现 BFS
    var que: [Vertex] = [startVet]
    // 以顶点 vet 为起点，循环直至访问完所有顶点
    while !que.isEmpty {
        let vet = que.removeFirst() // 队首顶点出队
        res.append(vet) // 记录访问顶点
        // 遍历该顶点的所有邻接顶点
        for adjVet in graph.adjList[vet] ?? [] {
            if visited.contains(adjVet) {
                continue // 跳过已被访问的顶点
            }
            que.append(adjVet) // 只入队未访问的顶点
            visited.insert(adjVet) // 标记该顶点已被访问
        }
    }
    // 返回顶点遍历序列
    return res
}
```

=== "JS"

```javascript title="graph_bfs.js"
/* 广度优先遍历 */
// 使用邻接表来表示图，以便获取指定顶点的所有邻接顶点
function graphBFS(graph, startVet) {
    // 顶点遍历序列
    const res = [];
    // 哈希表，用于记录已被访问过的顶点
    const visited = new Set();
    visited.add(startVet);
    // 队列用于实现 BFS
    const que = [startVet];
    // 以顶点 vet 为起点，循环直至访问完所有顶点
    while (que.length) {
        const vet = que.shift(); // 队首顶点出队
        res.push(vet); // 记录访问顶点
        // 遍历该顶点的所有邻接顶点
        for (const adjVet of graph.adjList.get(vet) ?? []) {
            if (visited.has(adjVet)) {
                continue; // 跳过已被访问的顶点
            }
            que.push(adjVet); // 只入队未访问的顶点
            visited.add(adjVet); // 标记该顶点已被访问
        }
    }
    // 返回顶点遍历序列
    return res;
}
```

=== "TS"

```typescript title="graph_bfs.ts"
/* 广度优先遍历 */
// 使用邻接表来表示图，以便获取指定顶点的所有邻接顶点
function graphBFS(graph: GraphAdjList, startVet: Vertex): Vertex[] {
    // 顶点遍历序列
    const res: Vertex[] = [];
    // 哈希表，用于记录已被访问过的顶点
    const visited: Set<Vertex> = new Set();
    visited.add(startVet);
    // 队列用于实现 BFS
    const que = [startVet];
    // 以顶点 vet 为起点，循环直至访问完所有顶点
    while (que.length) {
        const vet = que.shift(); // 队首顶点出队
        res.push(vet); // 记录访问顶点
        // 遍历该顶点的所有邻接顶点
        for (const adjVet of graph.adjList.get(vet) ?? []) {
            if (visited.has(adjVet)) {
                continue; // 跳过已被访问的顶点
            }
            que.push(adjVet); // 只入队未访问
            visited.add(adjVet); // 标记该顶点已被访问
        }
    }
    // 返回顶点遍历序列
    return res;
}
```

=== "Dart"

```dart title="graph_bfs.dart"
/* 广度优先遍历 */
List<Vertex> graphBFS(GraphAdjList graph, Vertex startVet) {
  // 使用邻接表来表示图，以便获取指定顶点的所有邻接顶点
  // 顶点遍历序列
  List<Vertex> res = [];
  // 哈希表，用于记录已被访问过的顶点
  Set<Vertex> visited = {};
  visited.add(startVet);
  // 队列用于实现 BFS
  Queue<Vertex> que = Queue();
  que.add(startVet);
  // 以顶点 vet 为起点，循环直至访问完所有顶点
  while (que.isNotEmpty) {
    Vertex vet = que.removeFirst(); // 队首顶点出队
    res.add(vet); // 记录访问顶点
    // 遍历该顶点的所有邻接顶点
    for (Vertex adjVet in graph.adjList[vet]!) {
      if (visited.contains(adjVet)) {
        continue; // 跳过已被访问的顶点
      }
      que.add(adjVet); // 只入队未访问的顶点
      visited.add(adjVet); // 标记该顶点已被访问
    }
  }
  // 返回顶点遍历序列
  return res;
}
```

=== "Rust"

```rust title="graph_bfs.rs"
/* 广度优先遍历 */
// 使用邻接表来表示图，以便获取指定顶点的所有邻接顶点
fn graph_bfs(graph: GraphAdjList, start_vet: Vertex) -> Vec<Vertex> {
    // 顶点遍历序列
    let mut res = vec![];
    // 哈希表，用于记录已被访问过的顶点
    let mut visited = HashSet::new();
    visited.insert(start_vet);
    // 队列用于实现 BFS
    let mut que = VecDeque::new();
    que.push_back(start_vet);
    // 以顶点 vet 为起点，循环直至访问完所有顶点
    while !que.is_empty() {
        let vet = que.pop_front().unwrap(); // 队首顶点出队
        res.push(vet); // 记录访问顶点

        // 遍历该顶点的所有邻接顶点
        if let Some(adj_vets) = graph.adj_list.get(&vet) {
            for &adj_vet in adj_vets {
                if visited.contains(&adj_vet) {
                    continue; // 跳过已被访问的顶点
                }
                que.push_back(adj_vet); // 只入队未访问的顶点
                visited.insert(adj_vet); // 标记该顶点已被访问
            }
        }
    }
    // 返回顶点遍历序列
    res
}
```

=== "C"

```c title="graph_bfs.c"
/* 节点队列结构体 */
typedef struct {
    Vertex *vertices[MAX_SIZE];
    int front, rear, size;
} Queue;

/* 构造函数 */
Queue *newQueue() {
    Queue *q = (Queue *)malloc(sizeof(Queue));
    q->front = q->rear = q->size = 0;
    return q;
}

/* 判断队列是否为空 */
int isEmpty(Queue *q) {
    return q->size == 0;
}

/* 入队操作 */
void enqueue(Queue *q, Vertex *vet) {
    q->vertices[q->rear] = vet;
    q->rear = (q->rear + 1) % MAX_SIZE;
    q->size++;
}

/* 出队操作 */
Vertex *dequeue(Queue *q) {
    Vertex *vet = q->vertices[q->front];
    q->front = (q->front + 1) % MAX_SIZE;
    q->size--;
    return vet;
}

/* 检查顶点是否已被访问 */
int isVisited(Vertex **visited, int size, Vertex *vet) {
    // 遍历查找节点，使用 O(n) 时间
    for (int i = 0; i < size; i++) {
        if (visited[i] == vet)
            return 1;
    }
    return 0;
}

/* 广度优先遍历 */
// 使用邻接表来表示图，以便获取指定顶点的所有邻接顶点
void graphBFS(GraphAdjList *graph, Vertex *startVet, Vertex **res, int *resSize, Vertex **visited, int *visitedSize) {
    // 队列用于实现 BFS
    Queue *queue = newQueue();
    enqueue(queue, startVet);
    visited[(*visitedSize)++] = startVet;
    // 以顶点 vet 为起点，循环直至访问完所有顶点
    while (!isEmpty(queue)) {
        Vertex *vet = dequeue(queue); // 队首顶点出队
        res[(*resSize)++] = vet;      // 记录访问顶点
        // 遍历该顶点的所有邻接顶点
        AdjListNode *node = findNode(graph, vet);
        while (node != NULL) {
            // 跳过已被访问的顶点
            if (!isVisited(visited, *visitedSize, node->vertex)) {
                enqueue(queue, node->vertex);             // 只入队未访问的顶点
                visited[(*visitedSize)++] = node->vertex; // 标记该顶点已被访问
            }
            node = node->next;
        }
    }
    // 释放内存
    free(queue);
}
```

=== "Kotlin"

```kotlin title="graph_bfs.kt"
/* 广度优先遍历 */
// 使用邻接表来表示图，以便获取指定顶点的所有邻接顶点
fun graphBFS(graph: GraphAdjList, startVet: Vertex): MutableList<Vertex?> {
    // 顶点遍历序列
    val res = mutableListOf<Vertex?>()
    // 哈希表，用于记录已被访问过的顶点
    val visited = HashSet<Vertex>()
    visited.add(startVet)
    // 队列用于实现 BFS
    val que = LinkedList<Vertex>()
    que.offer(startVet)
    // 以顶点 vet 为起点，循环直至访问完所有顶点
    while (!que.isEmpty()) {
        val vet = que.poll() // 队首顶点出队
        res.add(vet)         // 记录访问顶点
        // 遍历该顶点的所有邻接顶点
        for (adjVet in graph.adjList[vet]!!) {
            if (visited.contains(adjVet))
                continue        // 跳过已被访问的顶点
            que.offer(adjVet)   // 只入队未访问的顶点
            visited.add(adjVet) // 标记该顶点已被访问
        }
    }
    // 返回顶点遍历序列
    return res
}
```

=== "Ruby"

```ruby title="graph_bfs.rb"
### 广度优先遍历 ###
def graph_bfs(graph, start_vet)
  # 使用邻接表来表示图，以便获取指定顶点的所有邻接顶点
  # 顶点遍历序列
  res = []
  # 哈希表，用于记录已被访问过的顶点
  visited = Set.new([start_vet])
  # 队列用于实现 BFS
  que = [start_vet]
  # 以顶点 vet 为起点，循环直至访问完所有顶点
  while que.length > 0
    vet = que.shift # 队首顶点出队
    res << vet # 记录访问顶点
    # 遍历该顶点的所有邻接顶点
    for adj_vet in graph.adj_list[vet]
      next if visited.include?(adj_vet) # 跳过已被访问的顶点
      que << adj_vet # 只入队未访问的顶点
      visited.add(adj_vet) # 标记该顶点已被访问
    end
  end
  # 返回顶点遍历序列
  res
end
```

=== "Zig"

```zig title="graph_bfs.zig"
[class]{}-[func]{graphBFS}
```

??? pythontutor "可视化运行"

<div style="height: 549px; width: 100%;"><iframe class="pythontutor-iframe" src="https://pythontutor.com/iframe-embed.html#code=from%20collections%20import%20deque%0A%0Aclass%20Vertex%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%E9%A1%B6%E7%82%B9%E7%B1%BB%22%22%22%0A%20%20%20%20def%20__init__%28self,%20val%3A%20int%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20self.val%20%3D%20val%0A%0Adef%20vals_to_vets%28vals%3A%20list%5Bint%5D%29%20-%3E%20list%5B%22Vertex%22%5D%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%E8%BE%93%E5%85%A5%E5%80%BC%E5%88%97%E8%A1%A8%20vals%20%EF%BC%8C%E8%BF%94%E5%9B%9E%E9%A1%B6%E7%82%B9%E5%88%97%E8%A1%A8%20vets%22%22%22%0A%20%20%20%20return%20%5BVertex%28val%29%20for%20val%20in%20vals%5D%0A%0Aclass%20GraphAdjList%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%E5%9F%BA%E4%BA%8E%E9%82%BB%E6%8E%A5%E8%A1%A8%E5%AE%9E%E7%8E%B0%E7%9A%84%E6%97%A0%E5%90%91%E5%9B%BE%E7%B1%BB%22%22%22%0A%0A%20%20%20%20def%20__init__%28self,%20edges%3A%20list%5Blist%5BVertex%5D%5D%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%E6%9E%84%E9%80%A0%E6%96%B9%E6%B3%95%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20self.adj_list%20%3D%20dict%5BVertex,%20list%5BVertex%5D%5D%28%29%0A%20%20%20%20%20%20%20%20for%20edge%20in%20edges%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20self.add_vertex%28edge%5B0%5D%29%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20self.add_vertex%28edge%5B1%5D%29%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20self.add_edge%28edge%5B0%5D,%20edge%5B1%5D%29%0A%0A%20%20%20%20def%20add_edge%28self,%20vet1%3A%20Vertex,%20vet2%3A%20Vertex%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%E6%B7%BB%E5%8A%A0%E8%BE%B9%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20vet1%20not%20in%20self.adj_list%20or%20vet2%20not%20in%20self.adj_list%20or%20vet1%20%3D%3D%20vet2%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20raise%20ValueError%28%29%0A%20%20%20%20%20%20%20%20self.adj_list%5Bvet1%5D.append%28vet2%29%0A%20%20%20%20%20%20%20%20self.adj_list%5Bvet2%5D.append%28vet1%29%0A%0A%20%20%20%20def%20add_vertex%28self,%20vet%3A%20Vertex%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%E6%B7%BB%E5%8A%A0%E9%A1%B6%E7%82%B9%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20vet%20in%20self.adj_list%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20return%0A%20%20%20%20%20%20%20%20self.adj_list%5Bvet%5D%20%3D%20%5B%5D%0A%0A%0Adef%20graph_bfs%28graph%3A%20GraphAdjList,%20start_vet%3A%20Vertex%29%20-%3E%20list%5BVertex%5D%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%E5%B9%BF%E5%BA%A6%E4%BC%98%E5%85%88%E9%81%8D%E5%8E%86%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%20%E9%A1%B6%E7%82%B9%E9%81%8D%E5%8E%86%E5%BA%8F%E5%88%97%0A%20%20%20%20res%20%3D%20%5B%5D%0A%20%20%20%20%23%20%E5%93%88%E5%B8%8C%E8%A1%A8%EF%BC%8C%E7%94%A8%E4%BA%8E%E8%AE%B0%E5%BD%95%E5%B7%B2%E8%A2%AB%E8%AE%BF%E9%97%AE%E8%BF%87%E7%9A%84%E9%A1%B6%E7%82%B9%0A%20%20%20%20visited%20%3D%20set%5BVertex%5D%28%5Bstart_vet%5D%29%0A%20%20%20%20%23%20%E9%98%9F%E5%88%97%E7%94%A8%E4%BA%8E%E5%AE%9E%E7%8E%B0%20BFS%0A%20%20%20%20que%20%3D%20deque%5BVertex%5D%28%5Bstart_vet%5D%29%0A%20%20%20%20%23%20%E4%BB%A5%E9%A1%B6%E7%82%B9%20vet%20%E4%B8%BA%E8%B5%B7%E7%82%B9%EF%BC%8C%E5%BE%AA%E7%8E%AF%E7%9B%B4%E8%87%B3%E8%AE%BF%E9%97%AE%E5%AE%8C%E6%89%80%E6%9C%89%E9%A1%B6%E7%82%B9%0A%20%20%20%20while%20len%28que%29%20%3E%200%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20vet%20%3D%20que.popleft%28%29%20%20%23%20%E9%98%9F%E9%A6%96%E9%A1%B6%E7%82%B9%E5%87%BA%E9%98%9F%0A%20%20%20%20%20%20%20%20res.append%28vet%29%20%20%23%20%E8%AE%B0%E5%BD%95%E8%AE%BF%E9%97%AE%E9%A1%B6%E7%82%B9%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E9%81%8D%E5%8E%86%E8%AF%A5%E9%A1%B6%E7%82%B9%E7%9A%84%E6%89%80%E6%9C%89%E9%82%BB%E6%8E%A5%E9%A1%B6%E7%82%B9%0A%20%20%20%20%20%20%20%20for%20adj_vet%20in%20graph.adj_list%5Bvet%5D%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20if%20adj_vet%20in%20visited%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20continue%20%20%23%20%E8%B7%B3%E8%BF%87%E5%B7%B2%E8%A2%AB%E8%AE%BF%E9%97%AE%E7%9A%84%E9%A1%B6%E7%82%B9%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20que.append%28adj_vet%29%20%20%23%20%E5%8F%AA%E5%85%A5%E9%98%9F%E6%9C%AA%E8%AE%BF%E9%97%AE%E7%9A%84%E9%A1%B6%E7%82%B9%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20visited.add%28adj_vet%29%20%20%23%20%E6%A0%87%E8%AE%B0%E8%AF%A5%E9%A1%B6%E7%82%B9%E5%B7%B2%E8%A2%AB%E8%AE%BF%E9%97%AE%0A%20%20%20%20%23%20%E8%BF%94%E5%9B%9E%E9%A1%B6%E7%82%B9%E9%81%8D%E5%8E%86%E5%BA%8F%E5%88%97%0A%20%20%20%20return%20res%0A%0A%22%22%22Driver%20Code%22%22%22%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20%23%20%E5%88%9D%E5%A7%8B%E5%8C%96%E6%97%A0%E5%90%91%E5%9B%BE%0A%20%20%20%20v%20%3D%20vals_to_vets%28%5B0,%201,%202,%203,%204%5D%29%0A%20%20%20%20edges%20%3D%20%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5Bv%5B0%5D,%20v%5B1%5D%5D,%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5Bv%5B0%5D,%20v%5B3%5D%5D,%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5Bv%5B1%5D,%20v%5B2%5D%5D,%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5Bv%5B1%5D,%20v%5B4%5D%5D,%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5Bv%5B3%5D,%20v%5B4%5D%5D,%0A%20%20%20%20%5D%0A%20%20%20%20graph%20%3D%20GraphAdjList%28edges%29%0A%20%20%20%20del%20edges%0A%0A%20%20%20%20%23%20%E5%B9%BF%E5%BA%A6%E4%BC%98%E5%85%88%E9%81%8D%E5%8E%86%0A%20%20%20%20res%20%3D%20graph_bfs%28graph,%20v%5B0%5D%29&codeDivHeight=472&codeDivWidth=350&cumulative=false&curInstr=131&heapPrimitives=nevernest&origin=opt-frontend.js&py=311&rawInputLstJSON=%5B%5D&textReferences=false"> </iframe></div>
<div style="margin-top: 5px;"><a href="https://pythontutor.com/iframe-embed.html#code=from%20collections%20import%20deque%0A%0Aclass%20Vertex%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%E9%A1%B6%E7%82%B9%E7%B1%BB%22%22%22%0A%20%20%20%20def%20__init__%28self,%20val%3A%20int%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20self.val%20%3D%20val%0A%0Adef%20vals_to_vets%28vals%3A%20list%5Bint%5D%29%20-%3E%20list%5B%22Vertex%22%5D%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%E8%BE%93%E5%85%A5%E5%80%BC%E5%88%97%E8%A1%A8%20vals%20%EF%BC%8C%E8%BF%94%E5%9B%9E%E9%A1%B6%E7%82%B9%E5%88%97%E8%A1%A8%20vets%22%22%22%0A%20%20%20%20return%20%5BVertex%28val%29%20for%20val%20in%20vals%5D%0A%0Aclass%20GraphAdjList%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%E5%9F%BA%E4%BA%8E%E9%82%BB%E6%8E%A5%E8%A1%A8%E5%AE%9E%E7%8E%B0%E7%9A%84%E6%97%A0%E5%90%91%E5%9B%BE%E7%B1%BB%22%22%22%0A%0A%20%20%20%20def%20__init__%28self,%20edges%3A%20list%5Blist%5BVertex%5D%5D%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%E6%9E%84%E9%80%A0%E6%96%B9%E6%B3%95%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20self.adj_list%20%3D%20dict%5BVertex,%20list%5BVertex%5D%5D%28%29%0A%20%20%20%20%20%20%20%20for%20edge%20in%20edges%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20self.add_vertex%28edge%5B0%5D%29%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20self.add_vertex%28edge%5B1%5D%29%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20self.add_edge%28edge%5B0%5D,%20edge%5B1%5D%29%0A%0A%20%20%20%20def%20add_edge%28self,%20vet1%3A%20Vertex,%20vet2%3A%20Vertex%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%E6%B7%BB%E5%8A%A0%E8%BE%B9%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20vet1%20not%20in%20self.adj_list%20or%20vet2%20not%20in%20self.adj_list%20or%20vet1%20%3D%3D%20vet2%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20raise%20ValueError%28%29%0A%20%20%20%20%20%20%20%20self.adj_list%5Bvet1%5D.append%28vet2%29%0A%20%20%20%20%20%20%20%20self.adj_list%5Bvet2%5D.append%28vet1%29%0A%0A%20%20%20%20def%20add_vertex%28self,%20vet%3A%20Vertex%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%E6%B7%BB%E5%8A%A0%E9%A1%B6%E7%82%B9%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20vet%20in%20self.adj_list%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20return%0A%20%20%20%20%20%20%20%20self.adj_list%5Bvet%5D%20%3D%20%5B%5D%0A%0A%0Adef%20graph_bfs%28graph%3A%20GraphAdjList,%20start_vet%3A%20Vertex%29%20-%3E%20list%5BVertex%5D%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%E5%B9%BF%E5%BA%A6%E4%BC%98%E5%85%88%E9%81%8D%E5%8E%86%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%20%E9%A1%B6%E7%82%B9%E9%81%8D%E5%8E%86%E5%BA%8F%E5%88%97%0A%20%20%20%20res%20%3D%20%5B%5D%0A%20%20%20%20%23%20%E5%93%88%E5%B8%8C%E8%A1%A8%EF%BC%8C%E7%94%A8%E4%BA%8E%E8%AE%B0%E5%BD%95%E5%B7%B2%E8%A2%AB%E8%AE%BF%E9%97%AE%E8%BF%87%E7%9A%84%E9%A1%B6%E7%82%B9%0A%20%20%20%20visited%20%3D%20set%5BVertex%5D%28%5Bstart_vet%5D%29%0A%20%20%20%20%23%20%E9%98%9F%E5%88%97%E7%94%A8%E4%BA%8E%E5%AE%9E%E7%8E%B0%20BFS%0A%20%20%20%20que%20%3D%20deque%5BVertex%5D%28%5Bstart_vet%5D%29%0A%20%20%20%20%23%20%E4%BB%A5%E9%A1%B6%E7%82%B9%20vet%20%E4%B8%BA%E8%B5%B7%E7%82%B9%EF%BC%8C%E5%BE%AA%E7%8E%AF%E7%9B%B4%E8%87%B3%E8%AE%BF%E9%97%AE%E5%AE%8C%E6%89%80%E6%9C%89%E9%A1%B6%E7%82%B9%0A%20%20%20%20while%20len%28que%29%20%3E%200%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20vet%20%3D%20que.popleft%28%29%20%20%23%20%E9%98%9F%E9%A6%96%E9%A1%B6%E7%82%B9%E5%87%BA%E9%98%9F%0A%20%20%20%20%20%20%20%20res.append%28vet%29%20%20%23%20%E8%AE%B0%E5%BD%95%E8%AE%BF%E9%97%AE%E9%A1%B6%E7%82%B9%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E9%81%8D%E5%8E%86%E8%AF%A5%E9%A1%B6%E7%82%B9%E7%9A%84%E6%89%80%E6%9C%89%E9%82%BB%E6%8E%A5%E9%A1%B6%E7%82%B9%0A%20%20%20%20%20%20%20%20for%20adj_vet%20in%20graph.adj_list%5Bvet%5D%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20if%20adj_vet%20in%20visited%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20continue%20%20%23%20%E8%B7%B3%E8%BF%87%E5%B7%B2%E8%A2%AB%E8%AE%BF%E9%97%AE%E7%9A%84%E9%A1%B6%E7%82%B9%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20que.append%28adj_vet%29%20%20%23%20%E5%8F%AA%E5%85%A5%E9%98%9F%E6%9C%AA%E8%AE%BF%E9%97%AE%E7%9A%84%E9%A1%B6%E7%82%B9%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20visited.add%28adj_vet%29%20%20%23%20%E6%A0%87%E8%AE%B0%E8%AF%A5%E9%A1%B6%E7%82%B9%E5%B7%B2%E8%A2%AB%E8%AE%BF%E9%97%AE%0A%20%20%20%20%23%20%E8%BF%94%E5%9B%9E%E9%A1%B6%E7%82%B9%E9%81%8D%E5%8E%86%E5%BA%8F%E5%88%97%0A%20%20%20%20return%20res%0A%0A%22%22%22Driver%20Code%22%22%22%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20%23%20%E5%88%9D%E5%A7%8B%E5%8C%96%E6%97%A0%E5%90%91%E5%9B%BE%0A%20%20%20%20v%20%3D%20vals_to_vets%28%5B0,%201,%202,%203,%204%5D%29%0A%20%20%20%20edges%20%3D%20%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5Bv%5B0%5D,%20v%5B1%5D%5D,%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5Bv%5B0%5D,%20v%5B3%5D%5D,%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5Bv%5B1%5D,%20v%5B2%5D%5D,%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5Bv%5B1%5D,%20v%5B4%5D%5D,%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5Bv%5B3%5D,%20v%5B4%5D%5D,%0A%20%20%20%20%5D%0A%20%20%20%20graph%20%3D%20GraphAdjList%28edges%29%0A%20%20%20%20del%20edges%0A%0A%20%20%20%20%23%20%E5%B9%BF%E5%BA%A6%E4%BC%98%E5%85%88%E9%81%8D%E5%8E%86%0A%20%20%20%20res%20%3D%20graph_bfs%28graph,%20v%5B0%5D%29&codeDivHeight=800&codeDivWidth=600&cumulative=false&curInstr=131&heapPrimitives=nevernest&origin=opt-frontend.js&py=311&rawInputLstJSON=%5B%5D&textReferences=false" target="_blank" rel="noopener noreferrer">全屏观看 ></a></div>

代码相对抽象，建议对照图 9-10 来加深理解。

=== "<1>" { class="animation-figure" }

=== "<2>" { class="animation-figure" }

=== "<3>" { class="animation-figure" }

=== "<4>" { class="animation-figure" }

=== "<5>" { class="animation-figure" }

=== "<6>" { class="animation-figure" }

=== "<7>" { class="animation-figure" }

=== "<8>" { class="animation-figure" }

=== "<9>" { class="animation-figure" }

=== "<10>" { class="animation-figure" }

=== "<11>" { class="animation-figure" }

图 9-10 图的广度优先遍历步骤

!!! question "广度优先遍历的序列是否唯一？"

不唯一。广度优先遍历只要求按“由近及远”的顺序遍历，**而多个相同距离的顶点的遍历顺序允许被任意打乱**。以图 9-10 为例，顶点 $1$、$3$ 的访问顺序可以交换，顶点 $2$、$4$、$6$ 的访问顺序也可以任意交换。

2. 复杂度分析

时间复杂度：所有顶点都会入队并出队一次，使用 O(|V|) 时间；在遍历邻接顶点的过程中，由于是无向图，因此所有边都会被访问 2 次，使用 O(2|E|) 时间；总体使用 O(|V| + |E|) 时间。

空间复杂度：列表 res ，哈希表 visited ，队列 que 中的顶点数量最多为 |V| ，使用 O(|V|) 空间。

9.3.2 深度优先遍历

深度优先遍历是一种优先走到底、无路可走再回头的遍历方式。如图 9-11 所示，从左上角顶点出发，访问当前顶点的某个邻接顶点，直到走到尽头时返回，再继续走到尽头并返回，以此类推，直至所有顶点遍历完成。

{ class="animation-figure" }

图 9-11 图的深度优先遍历

1. 算法实现

这种“走到尽头再返回”的算法范式通常基于递归来实现。与广度优先遍历类似，在深度优先遍历中，我们也需要借助一个哈希表 visited 来记录已被访问的顶点，以避免重复访问顶点。

=== "Python"

```python title="graph_dfs.py"
def dfs(graph: GraphAdjList, visited: set[Vertex], res: list[Vertex], vet: Vertex):
    """深度优先遍历辅助函数"""
    res.append(vet)  # 记录访问顶点
    visited.add(vet)  # 标记该顶点已被访问
    # 遍历该顶点的所有邻接顶点
    for adjVet in graph.adj_list[vet]:
        if adjVet in visited:
            continue  # 跳过已被访问的顶点
        # 递归访问邻接顶点
        dfs(graph, visited, res, adjVet)

def graph_dfs(graph: GraphAdjList, start_vet: Vertex) -> list[Vertex]:
    """深度优先遍历"""
    # 使用邻接表来表示图，以便获取指定顶点的所有邻接顶点
    # 顶点遍历序列
    res = []
    # 哈希表，用于记录已被访问过的顶点
    visited = set[Vertex]()
    dfs(graph, visited, res, start_vet)
    return res
```

=== "C++"

```cpp title="graph_dfs.cpp"
/* 深度优先遍历辅助函数 */
void dfs(GraphAdjList &graph, unordered_set<Vertex *> &visited, vector<Vertex *> &res, Vertex *vet) {
    res.push_back(vet);   // 记录访问顶点
    visited.emplace(vet); // 标记该顶点已被访问
    // 遍历该顶点的所有邻接顶点
    for (Vertex *adjVet : graph.adjList[vet]) {
        if (visited.count(adjVet))
            continue; // 跳过已被访问的顶点
        // 递归访问邻接顶点
        dfs(graph, visited, res, adjVet);
    }
}

/* 深度优先遍历 */
// 使用邻接表来表示图，以便获取指定顶点的所有邻接顶点
vector<Vertex *> graphDFS(GraphAdjList &graph, Vertex *startVet) {
    // 顶点遍历序列
    vector<Vertex *> res;
    // 哈希表，用于记录已被访问过的顶点
    unordered_set<Vertex *> visited;
    dfs(graph, visited, res, startVet);
    return res;
}
```

=== "Java"

```java title="graph_dfs.java"
/* 深度优先遍历辅助函数 */
void dfs(GraphAdjList graph, Set<Vertex> visited, List<Vertex> res, Vertex vet) {
    res.add(vet);     // 记录访问顶点
    visited.add(vet); // 标记该顶点已被访问
    // 遍历该顶点的所有邻接顶点
    for (Vertex adjVet : graph.adjList.get(vet)) {
        if (visited.contains(adjVet))
            continue; // 跳过已被访问的顶点
        // 递归访问邻接顶点
        dfs(graph, visited, res, adjVet);
    }
}

/* 深度优先遍历 */
// 使用邻接表来表示图，以便获取指定顶点的所有邻接顶点
List<Vertex> graphDFS(GraphAdjList graph, Vertex startVet) {
    // 顶点遍历序列
    List<Vertex> res = new ArrayList<>();
    // 哈希表，用于记录已被访问过的顶点
    Set<Vertex> visited = new HashSet<>();
    dfs(graph, visited, res, startVet);
    return res;
}
```

=== "C#"

```csharp title="graph_dfs.cs"
/* 深度优先遍历辅助函数 */
void DFS(GraphAdjList graph, HashSet<Vertex> visited, List<Vertex> res, Vertex vet) {
    res.Add(vet);     // 记录访问顶点
    visited.Add(vet); // 标记该顶点已被访问
    // 遍历该顶点的所有邻接顶点
    foreach (Vertex adjVet in graph.adjList[vet]) {
        if (visited.Contains(adjVet)) {
            continue; // 跳过已被访问的顶点                             
        }
        // 递归访问邻接顶点
        DFS(graph, visited, res, adjVet);
    }
}

/* 深度优先遍历 */
// 使用邻接表来表示图，以便获取指定顶点的所有邻接顶点
List<Vertex> GraphDFS(GraphAdjList graph, Vertex startVet) {
    // 顶点遍历序列
    List<Vertex> res = [];
    // 哈希表，用于记录已被访问过的顶点
    HashSet<Vertex> visited = [];
    DFS(graph, visited, res, startVet);
    return res;
}
```

=== "Go"

```go title="graph_dfs.go"
/* 深度优先遍历辅助函数 */
func dfs(g *graphAdjList, visited map[Vertex]struct{}, res *[]Vertex, vet Vertex) {
    // append 操作会返回新的的引用，必须让原引用重新赋值为新slice的引用
    *res = append(*res, vet)
    visited[vet] = struct{}{}
    // 遍历该顶点的所有邻接顶点
    for _, adjVet := range g.adjList[vet] {
        _, isExist := visited[adjVet]
        // 递归访问邻接顶点
        if !isExist {
            dfs(g, visited, res, adjVet)
        }
    }
}

/* 深度优先遍历 */
// 使用邻接表来表示图，以便获取指定顶点的所有邻接顶点
func graphDFS(g *graphAdjList, startVet Vertex) []Vertex {
    // 顶点遍历序列
    res := make([]Vertex, 0)
    // 哈希表，用于记录已被访问过的顶点
    visited := make(map[Vertex]struct{})
    dfs(g, visited, &res, startVet)
    // 返回顶点遍历序列
    return res
}
```

=== "Swift"

```swift title="graph_dfs.swift"
/* 深度优先遍历辅助函数 */
func dfs(graph: GraphAdjList, visited: inout Set<Vertex>, res: inout [Vertex], vet: Vertex) {
    res.append(vet) // 记录访问顶点
    visited.insert(vet) // 标记该顶点已被访问
    // 遍历该顶点的所有邻接顶点
    for adjVet in graph.adjList[vet] ?? [] {
        if visited.contains(adjVet) {
            continue // 跳过已被访问的顶点
        }
        // 递归访问邻接顶点
        dfs(graph: graph, visited: &visited, res: &res, vet: adjVet)
    }
}

/* 深度优先遍历 */
// 使用邻接表来表示图，以便获取指定顶点的所有邻接顶点
func graphDFS(graph: GraphAdjList, startVet: Vertex) -> [Vertex] {
    // 顶点遍历序列
    var res: [Vertex] = []
    // 哈希表，用于记录已被访问过的顶点
    var visited: Set<Vertex> = []
    dfs(graph: graph, visited: &visited, res: &res, vet: startVet)
    return res
}
```

=== "JS"

```javascript title="graph_dfs.js"
/* 深度优先遍历 */
// 使用邻接表来表示图，以便获取指定顶点的所有邻接顶点
function dfs(graph, visited, res, vet) {
    res.push(vet); // 记录访问顶点
    visited.add(vet); // 标记该顶点已被访问
    // 遍历该顶点的所有邻接顶点
    for (const adjVet of graph.adjList.get(vet)) {
        if (visited.has(adjVet)) {
            continue; // 跳过已被访问的顶点
        }
        // 递归访问邻接顶点
        dfs(graph, visited, res, adjVet);
    }
}

/* 深度优先遍历 */
// 使用邻接表来表示图，以便获取指定顶点的所有邻接顶点
function graphDFS(graph, startVet) {
    // 顶点遍历序列
    const res = [];
    // 哈希表，用于记录已被访问过的顶点
    const visited = new Set();
    dfs(graph, visited, res, startVet);
    return res;
}
```

=== "TS"

```typescript title="graph_dfs.ts"
/* 深度优先遍历辅助函数 */
function dfs(
    graph: GraphAdjList,
    visited: Set<Vertex>,
    res: Vertex[],
    vet: Vertex
): void {
    res.push(vet); // 记录访问顶点
    visited.add(vet); // 标记该顶点已被访问
    // 遍历该顶点的所有邻接顶点
    for (const adjVet of graph.adjList.get(vet)) {
        if (visited.has(adjVet)) {
            continue; // 跳过已被访问的顶点
        }
        // 递归访问邻接顶点
        dfs(graph, visited, res, adjVet);
    }
}

/* 深度优先遍历 */
// 使用邻接表来表示图，以便获取指定顶点的所有邻接顶点
function graphDFS(graph: GraphAdjList, startVet: Vertex): Vertex[] {
    // 顶点遍历序列
    const res: Vertex[] = [];
    // 哈希表，用于记录已被访问过的顶点
    const visited: Set<Vertex> = new Set();
    dfs(graph, visited, res, startVet);
    return res;
}
```

=== "Dart"

```dart title="graph_dfs.dart"
/* 深度优先遍历辅助函数 */
void dfs(
  GraphAdjList graph,
  Set<Vertex> visited,
  List<Vertex> res,
  Vertex vet,
) {
  res.add(vet); // 记录访问顶点
  visited.add(vet); // 标记该顶点已被访问
  // 遍历该顶点的所有邻接顶点
  for (Vertex adjVet in graph.adjList[vet]!) {
    if (visited.contains(adjVet)) {
      continue; // 跳过已被访问的顶点
    }
    // 递归访问邻接顶点
    dfs(graph, visited, res, adjVet);
  }
}

/* 深度优先遍历 */
List<Vertex> graphDFS(GraphAdjList graph, Vertex startVet) {
  // 顶点遍历序列
  List<Vertex> res = [];
  // 哈希表，用于记录已被访问过的顶点
  Set<Vertex> visited = {};
  dfs(graph, visited, res, startVet);
  return res;
}
```

=== "Rust"

```rust title="graph_dfs.rs"
/* 深度优先遍历辅助函数 */
fn dfs(graph: &GraphAdjList, visited: &mut HashSet<Vertex>, res: &mut Vec<Vertex>, vet: Vertex) {
    res.push(vet); // 记录访问顶点
    visited.insert(vet); // 标记该顶点已被访问
                         // 遍历该顶点的所有邻接顶点
    if let Some(adj_vets) = graph.adj_list.get(&vet) {
        for &adj_vet in adj_vets {
            if visited.contains(&adj_vet) {
                continue; // 跳过已被访问的顶点
            }
            // 递归访问邻接顶点
            dfs(graph, visited, res, adj_vet);
        }
    }
}

/* 深度优先遍历 */
// 使用邻接表来表示图，以便获取指定顶点的所有邻接顶点
fn graph_dfs(graph: GraphAdjList, start_vet: Vertex) -> Vec<Vertex> {
    // 顶点遍历序列
    let mut res = vec![];
    // 哈希表，用于记录已被访问过的顶点
    let mut visited = HashSet::new();
    dfs(&graph, &mut visited, &mut res, start_vet);

    res
}
```

=== "C"

```c title="graph_dfs.c"
/* 检查顶点是否已被访问 */
int isVisited(Vertex **res, int size, Vertex *vet) {
    // 遍历查找节点，使用 O(n) 时间
    for (int i = 0; i < size; i++) {
        if (res[i] == vet) {
            return 1;
        }
    }
    return 0;
}

/* 深度优先遍历辅助函数 */
void dfs(GraphAdjList *graph, Vertex **res, int *resSize, Vertex *vet) {
    // 记录访问顶点
    res[(*resSize)++] = vet;
    // 遍历该顶点的所有邻接顶点
    AdjListNode *node = findNode(graph, vet);
    while (node != NULL) {
        // 跳过已被访问的顶点
        if (!isVisited(res, *resSize, node->vertex)) {
            // 递归访问邻接顶点
            dfs(graph, res, resSize, node->vertex);
        }
        node = node->next;
    }
}

/* 深度优先遍历 */
// 使用邻接表来表示图，以便获取指定顶点的所有邻接顶点
void graphDFS(GraphAdjList *graph, Vertex *startVet, Vertex **res, int *resSize) {
    dfs(graph, res, resSize, startVet);
}
```

=== "Kotlin"

```kotlin title="graph_dfs.kt"
/* 深度优先遍历辅助函数 */
fun dfs(
    graph: GraphAdjList,
    visited: MutableSet<Vertex?>,
    res: MutableList<Vertex?>,
    vet: Vertex?
) {
    res.add(vet)     // 记录访问顶点
    visited.add(vet) // 标记该顶点已被访问
    // 遍历该顶点的所有邻接顶点
    for (adjVet in graph.adjList[vet]!!) {
        if (visited.contains(adjVet))
            continue  // 跳过已被访问的顶点
        // 递归访问邻接顶点
        dfs(graph, visited, res, adjVet)
    }
}

/* 深度优先遍历 */
// 使用邻接表来表示图，以便获取指定顶点的所有邻接顶点
fun graphDFS(graph: GraphAdjList, startVet: Vertex?): MutableList<Vertex?> {
    // 顶点遍历序列
    val res = mutableListOf<Vertex?>()
    // 哈希表，用于记录已被访问过的顶点
    val visited = HashSet<Vertex?>()
    dfs(graph, visited, res, startVet)
    return res
}
```

=== "Ruby"

```ruby title="graph_dfs.rb"
### 深度优先遍历辅助函数 ###
def dfs(graph, visited, res, vet)
  res << vet # 记录访问顶点
  visited.add(vet) # 标记该顶点已被访问
  # 遍历该顶点的所有邻接顶点
  for adj_vet in graph.adj_list[vet]
    next if visited.include?(adj_vet) # 跳过已被访问的顶点
    # 递归访问邻接顶点
    dfs(graph, visited, res, adj_vet)
  end
end

### 深度优先遍历 ###
def graph_dfs(graph, start_vet)
  # 使用邻接表来表示图，以便获取指定顶点的所有邻接顶点
  # 顶点遍历序列
  res = []
  # 哈希表，用于记录已被访问过的顶点
  visited = Set.new
  dfs(graph, visited, res, start_vet)
  res
end
```

=== "Zig"

```zig title="graph_dfs.zig"
[class]{}-[func]{dfs}

[class]{}-[func]{graphDFS}
```

??? pythontutor "可视化运行"

<div style="height: 549px; width: 100%;"><iframe class="pythontutor-iframe" src="https://pythontutor.com/iframe-embed.html#code=class%20Vertex%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%E9%A1%B6%E7%82%B9%E7%B1%BB%22%22%22%0A%20%20%20%20def%20__init__%28self,%20val%3A%20int%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20self.val%20%3D%20val%0A%0Adef%20vals_to_vets%28vals%3A%20list%5Bint%5D%29%20-%3E%20list%5B%22Vertex%22%5D%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%E8%BE%93%E5%85%A5%E5%80%BC%E5%88%97%E8%A1%A8%20vals%20%EF%BC%8C%E8%BF%94%E5%9B%9E%E9%A1%B6%E7%82%B9%E5%88%97%E8%A1%A8%20vets%22%22%22%0A%20%20%20%20return%20%5BVertex%28val%29%20for%20val%20in%20vals%5D%0A%0Aclass%20GraphAdjList%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%E5%9F%BA%E4%BA%8E%E9%82%BB%E6%8E%A5%E8%A1%A8%E5%AE%9E%E7%8E%B0%E7%9A%84%E6%97%A0%E5%90%91%E5%9B%BE%E7%B1%BB%22%22%22%0A%0A%20%20%20%20def%20__init__%28self,%20edges%3A%20list%5Blist%5BVertex%5D%5D%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%E6%9E%84%E9%80%A0%E6%96%B9%E6%B3%95%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20self.adj_list%20%3D%20dict%5BVertex,%20list%5BVertex%5D%5D%28%29%0A%20%20%20%20%20%20%20%20for%20edge%20in%20edges%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20self.add_vertex%28edge%5B0%5D%29%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20self.add_vertex%28edge%5B1%5D%29%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20self.add_edge%28edge%5B0%5D,%20edge%5B1%5D%29%0A%0A%20%20%20%20def%20add_edge%28self,%20vet1%3A%20Vertex,%20vet2%3A%20Vertex%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%E6%B7%BB%E5%8A%A0%E8%BE%B9%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20vet1%20not%20in%20self.adj_list%20or%20vet2%20not%20in%20self.adj_list%20or%20vet1%20%3D%3D%20vet2%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20raise%20ValueError%28%29%0A%20%20%20%20%20%20%20%20self.adj_list%5Bvet1%5D.append%28vet2%29%0A%20%20%20%20%20%20%20%20self.adj_list%5Bvet2%5D.append%28vet1%29%0A%0A%20%20%20%20def%20add_vertex%28self,%20vet%3A%20Vertex%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%E6%B7%BB%E5%8A%A0%E9%A1%B6%E7%82%B9%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20vet%20in%20self.adj_list%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20return%0A%20%20%20%20%20%20%20%20self.adj_list%5Bvet%5D%20%3D%20%5B%5D%0A%0A%0Adef%20dfs%28graph%3A%20GraphAdjList,%20visited%3A%20set%5BVertex%5D,%20res%3A%20list%5BVertex%5D,%20vet%3A%20Vertex%29%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%E6%B7%B1%E5%BA%A6%E4%BC%98%E5%85%88%E9%81%8D%E5%8E%86%E8%BE%85%E5%8A%A9%E5%87%BD%E6%95%B0%22%22%22%0A%20%20%20%20res.append%28vet%29%20%20%23%20%E8%AE%B0%E5%BD%95%E8%AE%BF%E9%97%AE%E9%A1%B6%E7%82%B9%0A%20%20%20%20visited.add%28vet%29%20%20%23%20%E6%A0%87%E8%AE%B0%E8%AF%A5%E9%A1%B6%E7%82%B9%E5%B7%B2%E8%A2%AB%E8%AE%BF%E9%97%AE%0A%20%20%20%20%23%20%E9%81%8D%E5%8E%86%E8%AF%A5%E9%A1%B6%E7%82%B9%E7%9A%84%E6%89%80%E6%9C%89%E9%82%BB%E6%8E%A5%E9%A1%B6%E7%82%B9%0A%20%20%20%20for%20adjVet%20in%20graph.adj_list%5Bvet%5D%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20adjVet%20in%20visited%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20continue%20%20%23%20%E8%B7%B3%E8%BF%87%E5%B7%B2%E8%A2%AB%E8%AE%BF%E9%97%AE%E7%9A%84%E9%A1%B6%E7%82%B9%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E9%80%92%E5%BD%92%E8%AE%BF%E9%97%AE%E9%82%BB%E6%8E%A5%E9%A1%B6%E7%82%B9%0A%20%20%20%20%20%20%20%20dfs%28graph,%20visited,%20res,%20adjVet%29%0A%0A%0Adef%20graph_dfs%28graph%3A%20GraphAdjList,%20start_vet%3A%20Vertex%29%20-%3E%20list%5BVertex%5D%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%E6%B7%B1%E5%BA%A6%E4%BC%98%E5%85%88%E9%81%8D%E5%8E%86%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%20%E4%BD%BF%E7%94%A8%E9%82%BB%E6%8E%A5%E8%A1%A8%E6%9D%A5%E8%A1%A8%E7%A4%BA%E5%9B%BE%EF%BC%8C%E4%BB%A5%E4%BE%BF%E8%8E%B7%E5%8F%96%E6%8C%87%E5%AE%9A%E9%A1%B6%E7%82%B9%E7%9A%84%E6%89%80%E6%9C%89%E9%82%BB%E6%8E%A5%E9%A1%B6%E7%82%B9%0A%20%20%20%20%23%20%E9%A1%B6%E7%82%B9%E9%81%8D%E5%8E%86%E5%BA%8F%E5%88%97%0A%20%20%20%20res%20%3D%20%5B%5D%0A%20%20%20%20%23%20%E5%93%88%E5%B8%8C%E8%A1%A8%EF%BC%8C%E7%94%A8%E4%BA%8E%E8%AE%B0%E5%BD%95%E5%B7%B2%E8%A2%AB%E8%AE%BF%E9%97%AE%E8%BF%87%E7%9A%84%E9%A1%B6%E7%82%B9%0A%20%20%20%20visited%20%3D%20set%5BVertex%5D%28%29%0A%20%20%20%20dfs%28graph,%20visited,%20res,%20start_vet%29%0A%20%20%20%20return%20res%0A%0A%0A%22%22%22Driver%20Code%22%22%22%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20%23%20%E5%88%9D%E5%A7%8B%E5%8C%96%E6%97%A0%E5%90%91%E5%9B%BE%0A%20%20%20%20v%20%3D%20vals_to_vets%28%5B0,%201,%202,%203,%204%5D%29%0A%20%20%20%20edges%20%3D%20%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5Bv%5B0%5D,%20v%5B1%5D%5D,%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5Bv%5B0%5D,%20v%5B3%5D%5D,%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5Bv%5B1%5D,%20v%5B2%5D%5D,%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5Bv%5B1%5D,%20v%5B4%5D%5D,%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5Bv%5B3%5D,%20v%5B4%5D%5D,%0A%20%20%20%20%5D%0A%20%20%20%20graph%20%3D%20GraphAdjList%28edges%29%0A%0A%20%20%20%20%23%20%E6%B7%B1%E5%BA%A6%E4%BC%98%E5%85%88%E9%81%8D%E5%8E%86%0A%20%20%20%20res%20%3D%20graph_dfs%28graph,%20v%5B0%5D%29&codeDivHeight=472&codeDivWidth=350&cumulative=false&curInstr=130&heapPrimitives=nevernest&origin=opt-frontend.js&py=311&rawInputLstJSON=%5B%5D&textReferences=false"> </iframe></div>
<div style="margin-top: 5px;"><a href="https://pythontutor.com/iframe-embed.html#code=class%20Vertex%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%E9%A1%B6%E7%82%B9%E7%B1%BB%22%22%22%0A%20%20%20%20def%20__init__%28self,%20val%3A%20int%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20self.val%20%3D%20val%0A%0Adef%20vals_to_vets%28vals%3A%20list%5Bint%5D%29%20-%3E%20list%5B%22Vertex%22%5D%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%E8%BE%93%E5%85%A5%E5%80%BC%E5%88%97%E8%A1%A8%20vals%20%EF%BC%8C%E8%BF%94%E5%9B%9E%E9%A1%B6%E7%82%B9%E5%88%97%E8%A1%A8%20vets%22%22%22%0A%20%20%20%20return%20%5BVertex%28val%29%20for%20val%20in%20vals%5D%0A%0Aclass%20GraphAdjList%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%E5%9F%BA%E4%BA%8E%E9%82%BB%E6%8E%A5%E8%A1%A8%E5%AE%9E%E7%8E%B0%E7%9A%84%E6%97%A0%E5%90%91%E5%9B%BE%E7%B1%BB%22%22%22%0A%0A%20%20%20%20def%20__init__%28self,%20edges%3A%20list%5Blist%5BVertex%5D%5D%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%E6%9E%84%E9%80%A0%E6%96%B9%E6%B3%95%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20self.adj_list%20%3D%20dict%5BVertex,%20list%5BVertex%5D%5D%28%29%0A%20%20%20%20%20%20%20%20for%20edge%20in%20edges%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20self.add_vertex%28edge%5B0%5D%29%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20self.add_vertex%28edge%5B1%5D%29%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20self.add_edge%28edge%5B0%5D,%20edge%5B1%5D%29%0A%0A%20%20%20%20def%20add_edge%28self,%20vet1%3A%20Vertex,%20vet2%3A%20Vertex%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%E6%B7%BB%E5%8A%A0%E8%BE%B9%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20vet1%20not%20in%20self.adj_list%20or%20vet2%20not%20in%20self.adj_list%20or%20vet1%20%3D%3D%20vet2%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20raise%20ValueError%28%29%0A%20%20%20%20%20%20%20%20self.adj_list%5Bvet1%5D.append%28vet2%29%0A%20%20%20%20%20%20%20%20self.adj_list%5Bvet2%5D.append%28vet1%29%0A%0A%20%20%20%20def%20add_vertex%28self,%20vet%3A%20Vertex%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%E6%B7%BB%E5%8A%A0%E9%A1%B6%E7%82%B9%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20vet%20in%20self.adj_list%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20return%0A%20%20%20%20%20%20%20%20self.adj_list%5Bvet%5D%20%3D%20%5B%5D%0A%0A%0Adef%20dfs%28graph%3A%20GraphAdjList,%20visited%3A%20set%5BVertex%5D,%20res%3A%20list%5BVertex%5D,%20vet%3A%20Vertex%29%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%E6%B7%B1%E5%BA%A6%E4%BC%98%E5%85%88%E9%81%8D%E5%8E%86%E8%BE%85%E5%8A%A9%E5%87%BD%E6%95%B0%22%22%22%0A%20%20%20%20res.append%28vet%29%20%20%23%20%E8%AE%B0%E5%BD%95%E8%AE%BF%E9%97%AE%E9%A1%B6%E7%82%B9%0A%20%20%20%20visited.add%28vet%29%20%20%23%20%E6%A0%87%E8%AE%B0%E8%AF%A5%E9%A1%B6%E7%82%B9%E5%B7%B2%E8%A2%AB%E8%AE%BF%E9%97%AE%0A%20%20%20%20%23%20%E9%81%8D%E5%8E%86%E8%AF%A5%E9%A1%B6%E7%82%B9%E7%9A%84%E6%89%80%E6%9C%89%E9%82%BB%E6%8E%A5%E9%A1%B6%E7%82%B9%0A%20%20%20%20for%20adjVet%20in%20graph.adj_list%5Bvet%5D%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20adjVet%20in%20visited%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20continue%20%20%23%20%E8%B7%B3%E8%BF%87%E5%B7%B2%E8%A2%AB%E8%AE%BF%E9%97%AE%E7%9A%84%E9%A1%B6%E7%82%B9%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E9%80%92%E5%BD%92%E8%AE%BF%E9%97%AE%E9%82%BB%E6%8E%A5%E9%A1%B6%E7%82%B9%0A%20%20%20%20%20%20%20%20dfs%28graph,%20visited,%20res,%20adjVet%29%0A%0A%0Adef%20graph_dfs%28graph%3A%20GraphAdjList,%20start_vet%3A%20Vertex%29%20-%3E%20list%5BVertex%5D%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%E6%B7%B1%E5%BA%A6%E4%BC%98%E5%85%88%E9%81%8D%E5%8E%86%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%20%E4%BD%BF%E7%94%A8%E9%82%BB%E6%8E%A5%E8%A1%A8%E6%9D%A5%E8%A1%A8%E7%A4%BA%E5%9B%BE%EF%BC%8C%E4%BB%A5%E4%BE%BF%E8%8E%B7%E5%8F%96%E6%8C%87%E5%AE%9A%E9%A1%B6%E7%82%B9%E7%9A%84%E6%89%80%E6%9C%89%E9%82%BB%E6%8E%A5%E9%A1%B6%E7%82%B9%0A%20%20%20%20%23%20%E9%A1%B6%E7%82%B9%E9%81%8D%E5%8E%86%E5%BA%8F%E5%88%97%0A%20%20%20%20res%20%3D%20%5B%5D%0A%20%20%20%20%23%20%E5%93%88%E5%B8%8C%E8%A1%A8%EF%BC%8C%E7%94%A8%E4%BA%8E%E8%AE%B0%E5%BD%95%E5%B7%B2%E8%A2%AB%E8%AE%BF%E9%97%AE%E8%BF%87%E7%9A%84%E9%A1%B6%E7%82%B9%0A%20%20%20%20visited%20%3D%20set%5BVertex%5D%28%29%0A%20%20%20%20dfs%28graph,%20visited,%20res,%20start_vet%29%0A%20%20%20%20return%20res%0A%0A%0A%22%22%22Driver%20Code%22%22%22%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20%23%20%E5%88%9D%E5%A7%8B%E5%8C%96%E6%97%A0%E5%90%91%E5%9B%BE%0A%20%20%20%20v%20%3D%20vals_to_vets%28%5B0,%201,%202,%203,%204%5D%29%0A%20%20%20%20edges%20%3D%20%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5Bv%5B0%5D,%20v%5B1%5D%5D,%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5Bv%5B0%5D,%20v%5B3%5D%5D,%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5Bv%5B1%5D,%20v%5B2%5D%5D,%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5Bv%5B1%5D,%20v%5B4%5D%5D,%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5Bv%5B3%5D,%20v%5B4%5D%5D,%0A%20%20%20%20%5D%0A%20%20%20%20graph%20%3D%20GraphAdjList%28edges%29%0A%0A%20%20%20%20%23%20%E6%B7%B1%E5%BA%A6%E4%BC%98%E5%85%88%E9%81%8D%E5%8E%86%0A%20%20%20%20res%20%3D%20graph_dfs%28graph,%20v%5B0%5D%29&codeDivHeight=800&codeDivWidth=600&cumulative=false&curInstr=130&heapPrimitives=nevernest&origin=opt-frontend.js&py=311&rawInputLstJSON=%5B%5D&textReferences=false" target="_blank" rel="noopener noreferrer">全屏观看 ></a></div>

深度优先遍历的算法流程如图 9-12 所示。

直虚线代表向下递推，表示开启了一个新的递归方法来访问新顶点。
曲虚线代表向上回溯，表示此递归方法已经返回，回溯到了开启此方法的位置。

为了加深理解，建议将图 9-12 与代码结合起来，在脑中模拟（或者用笔画下来）整个 DFS 过程，包括每个递归方法何时开启、何时返回。

=== "<1>" { class="animation-figure" }

=== "<2>" { class="animation-figure" }

=== "<3>" { class="animation-figure" }

=== "<4>" { class="animation-figure" }

=== "<5>" { class="animation-figure" }

=== "<6>" { class="animation-figure" }

=== "<7>" { class="animation-figure" }

=== "<8>" { class="animation-figure" }

=== "<9>" { class="animation-figure" }

=== "<10>" { class="animation-figure" }

=== "<11>" { class="animation-figure" }

图 9-12 图的深度优先遍历步骤

!!! question "深度优先遍历的序列是否唯一？"

与广度优先遍历类似，深度优先遍历序列的顺序也不是唯一的。给定某顶点，先往哪个方向探索都可以，即邻接顶点的顺序可以任意打乱，都是深度优先遍历。

以树的遍历为例，“根 $\rightarrow$ 左 $\rightarrow$ 右”“左 $\rightarrow$ 根 $\rightarrow$ 右”“左 $\rightarrow$ 右 $\rightarrow$ 根”分别对应前序、中序、后序遍历，它们展示了三种遍历优先级，然而这三者都属于深度优先遍历。

2. 复杂度分析

时间复杂度：所有顶点都会被访问 1 次，使用 O(|V|) 时间；所有边都会被访问 2 次，使用 O(2|E|) 时间；总体使用 O(|V| + |E|) 时间。

空间复杂度：列表 res ，哈希表 visited 顶点数量最多为 |V| ，递归深度最大为 |V| ，因此使用 O(|V|) 空间。

56 KiB Raw Blame History Unescape Escape

9.3 图的遍历

9.3.1 广度优先遍历

1. 算法实现

2. 复杂度分析

9.3.2 深度优先遍历

1. 算法实现

2. 复杂度分析

56 KiB

Raw Blame History Unescape Escape