yetao
/
hello-algo
mirror of https://github.com/krahets/hello-algo.git
1
0
Fork 0
Code Issues Packages Projects Releases Wiki Activity
You can not select more than 25 topics Topics must start with a letter or number, can include dashes ('-') and can be up to 35 characters long.
Branches Tags
${ item.name }
Create tag ${ searchTerm }
Create branch ${ searchTerm }
from 'ff8738ab95'
${ noResults }
hello-algo/docs/chapter_divide_and_conquer/build_binary_tree_problem.md

27 KiB
Raw Blame History Escape

comments
true

12.3   构建二叉树问题

!!! question

给定一棵二叉树的前序遍历 `preorder` 和中序遍历 `inorder` ，请从中构建二叉树，返回二叉树的根节点。假设二叉树中没有值重复的节点（如图 12-5 所示）。

构建二叉树的示例数据{ class="animation-figure" }

图 12-5   构建二叉树的示例数据

1.   判断是否为分治问题

原问题定义为从 preorder 和 inorder 构建二叉树，是一个典型的分治问题。

  • 问题可以分解：从分治的角度切入，我们可以将原问题划分为两个子问题：构建左子树、构建右子树，加上一步操作：初始化根节点。而对于每棵子树（子问题），我们仍然可以复用以上划分方法，将其划分为更小的子树（子问题），直至达到最小子问题（空子树）时终止。
  • 子问题是独立的：左子树和右子树是相互独立的，它们之间没有交集。在构建左子树时，我们只需关注中序遍历和前序遍历中与左子树对应的部分。右子树同理。
  • 子问题的解可以合并：一旦得到了左子树和右子树（子问题的解），我们就可以将它们链接到根节点上，得到原问题的解。

2.   如何划分子树

根据以上分析，这道题可以使用分治来求解，但如何通过前序遍历 preorder 和中序遍历 inorder 来划分左子树和右子树呢？

根据定义，preorder 和 inorder 都可以划分为三个部分。

  • 前序遍历：[ 根节点 | 左子树 | 右子树 ] ，例如图 12-5 的树对应 [ 3 | 9 | 2 1 7 ] 。
  • 中序遍历：[ 左子树 | 根节点 ｜ 右子树 ] ，例如图 12-5 的树对应 [ 9 | 3 | 1 2 7 ] 。

以上图数据为例，我们可以通过图 12-6 所示的步骤得到划分结果。

  1. 前序遍历的首元素 3 是根节点的值。
  2. 查找根节点 3 在 inorder 中的索引，利用该索引可将 inorder 划分为 [ 9 | 3 ｜ 1 2 7 ] 。
  3. 根据 inorder 的划分结果，易得左子树和右子树的节点数量分别为 1 和 3 ，从而可将 preorder 划分为 [ 3 | 9 | 2 1 7 ] 。

在前序遍历和中序遍历中划分子树{ class="animation-figure" }

图 12-6   在前序遍历和中序遍历中划分子树

3.   基于变量描述子树区间

根据以上划分方法，我们已经得到根节点、左子树、右子树在 preorder 和 inorder 中的索引区间。而为了描述这些索引区间，我们需要借助几个指针变量。

  • 将当前树的根节点在 preorder 中的索引记为 i 。
  • 将当前树的根节点在 inorder 中的索引记为 m 。
  • 将当前树在 inorder 中的索引区间记为 [l, r] 。

如表 12-1 所示，通过以上变量即可表示根节点在 preorder 中的索引，以及子树在 inorder 中的索引区间。

表 12-1   根节点和子树在前序遍历和中序遍历中的索引

根节点在 preorder 中的索引 子树在 inorder 中的索引区间
当前树 i [l, r]
左子树 i + 1 [l, m-1]
右子树 i + 1 + (m - l) [m+1, r]

请注意，右子树根节点索引中的 (m-l) 的含义是“左子树的节点数量”，建议结合图 12-7 理解。

根节点和左右子树的索引区间表示{ class="animation-figure" }

图 12-7   根节点和左右子树的索引区间表示

4.   代码实现

为了提升查询 m 的效率，我们借助一个哈希表 hmap 来存储数组 inorder 中元素到索引的映射：

=== "Python"

```python title="build_tree.py"
def dfs(
    preorder: list[int],
    inorder_map: dict[int, int],
    i: int,
    l: int,
    r: int,
) -> TreeNode | None:
    """构建二叉树：分治"""
    # 子树区间为空时终止
    if r - l < 0:
        return None
    # 初始化根节点
    root = TreeNode(preorder[i])
    # 查询 m ，从而划分左右子树
    m = inorder_map[preorder[i]]
    # 子问题：构建左子树
    root.left = dfs(preorder, inorder_map, i + 1, l, m - 1)
    # 子问题：构建右子树
    root.right = dfs(preorder, inorder_map, i + 1 + m - l, m + 1, r)
    # 返回根节点
    return root

def build_tree(preorder: list[int], inorder: list[int]) -> TreeNode | None:
    """构建二叉树"""
    # 初始化哈希表，存储 inorder 元素到索引的映射
    inorder_map = {val: i for i, val in enumerate(inorder)}
    root = dfs(preorder, inorder_map, 0, 0, len(inorder) - 1)
    return root
```

=== "C++"

```cpp title="build_tree.cpp"
/* 构建二叉树：分治 */
TreeNode *dfs(vector<int> &preorder, unordered_map<int, int> &inorderMap, int i, int l, int r) {
    // 子树区间为空时终止
    if (r - l < 0)
        return NULL;
    // 初始化根节点
    TreeNode *root = new TreeNode(preorder[i]);
    // 查询 m ，从而划分左右子树
    int m = inorderMap[preorder[i]];
    // 子问题：构建左子树
    root->left = dfs(preorder, inorderMap, i + 1, l, m - 1);
    // 子问题：构建右子树
    root->right = dfs(preorder, inorderMap, i + 1 + m - l, m + 1, r);
    // 返回根节点
    return root;
}

/* 构建二叉树 */
TreeNode *buildTree(vector<int> &preorder, vector<int> &inorder) {
    // 初始化哈希表，存储 inorder 元素到索引的映射
    unordered_map<int, int> inorderMap;
    for (int i = 0; i < inorder.size(); i++) {
        inorderMap[inorder[i]] = i;
    }
    TreeNode *root = dfs(preorder, inorderMap, 0, 0, inorder.size() - 1);
    return root;
}
```

=== "Java"

```java title="build_tree.java"
/* 构建二叉树：分治 */
TreeNode dfs(int[] preorder, Map<Integer, Integer> inorderMap, int i, int l, int r) {
    // 子树区间为空时终止
    if (r - l < 0)
        return null;
    // 初始化根节点
    TreeNode root = new TreeNode(preorder[i]);
    // 查询 m ，从而划分左右子树
    int m = inorderMap.get(preorder[i]);
    // 子问题：构建左子树
    root.left = dfs(preorder, inorderMap, i + 1, l, m - 1);
    // 子问题：构建右子树
    root.right = dfs(preorder, inorderMap, i + 1 + m - l, m + 1, r);
    // 返回根节点
    return root;
}

/* 构建二叉树 */
TreeNode buildTree(int[] preorder, int[] inorder) {
    // 初始化哈希表，存储 inorder 元素到索引的映射
    Map<Integer, Integer> inorderMap = new HashMap<>();
    for (int i = 0; i < inorder.length; i++) {
        inorderMap.put(inorder[i], i);
    }
    TreeNode root = dfs(preorder, inorderMap, 0, 0, inorder.length - 1);
    return root;
}
```

=== "C#"

```csharp title="build_tree.cs"
/* 构建二叉树：分治 */
TreeNode? DFS(int[] preorder, Dictionary<int, int> inorderMap, int i, int l, int r) {
    // 子树区间为空时终止
    if (r - l < 0)
        return null;
    // 初始化根节点
    TreeNode root = new(preorder[i]);
    // 查询 m ，从而划分左右子树
    int m = inorderMap[preorder[i]];
    // 子问题：构建左子树
    root.left = DFS(preorder, inorderMap, i + 1, l, m - 1);
    // 子问题：构建右子树
    root.right = DFS(preorder, inorderMap, i + 1 + m - l, m + 1, r);
    // 返回根节点
    return root;
}

/* 构建二叉树 */
TreeNode? BuildTree(int[] preorder, int[] inorder) {
    // 初始化哈希表，存储 inorder 元素到索引的映射
    Dictionary<int, int> inorderMap = [];
    for (int i = 0; i < inorder.Length; i++) {
        inorderMap.TryAdd(inorder[i], i);
    }
    TreeNode? root = DFS(preorder, inorderMap, 0, 0, inorder.Length - 1);
    return root;
}
```

=== "Go"

```go title="build_tree.go"
/* 构建二叉树：分治 */
func dfsBuildTree(preorder []int, inorderMap map[int]int, i, l, r int) *TreeNode {
    // 子树区间为空时终止
    if r-l < 0 {
        return nil
    }
    // 初始化根节点
    root := NewTreeNode(preorder[i])
    // 查询 m ，从而划分左右子树
    m := inorderMap[preorder[i]]
    // 子问题：构建左子树
    root.Left = dfsBuildTree(preorder, inorderMap, i+1, l, m-1)
    // 子问题：构建右子树
    root.Right = dfsBuildTree(preorder, inorderMap, i+1+m-l, m+1, r)
    // 返回根节点
    return root
}

/* 构建二叉树 */
func buildTree(preorder, inorder []int) *TreeNode {
    // 初始化哈希表，存储 inorder 元素到索引的映射
    inorderMap := make(map[int]int, len(inorder))
    for i := 0; i < len(inorder); i++ {
        inorderMap[inorder[i]] = i
    }

    root := dfsBuildTree(preorder, inorderMap, 0, 0, len(inorder)-1)
    return root
}
```

=== "Swift"

```swift title="build_tree.swift"
/* 构建二叉树：分治 */
func dfs(preorder: [Int], inorderMap: [Int: Int], i: Int, l: Int, r: Int) -> TreeNode? {
    // 子树区间为空时终止
    if r - l < 0 {
        return nil
    }
    // 初始化根节点
    let root = TreeNode(x: preorder[i])
    // 查询 m ，从而划分左右子树
    let m = inorderMap[preorder[i]]!
    // 子问题：构建左子树
    root.left = dfs(preorder: preorder, inorderMap: inorderMap, i: i + 1, l: l, r: m - 1)
    // 子问题：构建右子树
    root.right = dfs(preorder: preorder, inorderMap: inorderMap, i: i + 1 + m - l, l: m + 1, r: r)
    // 返回根节点
    return root
}

/* 构建二叉树 */
func buildTree(preorder: [Int], inorder: [Int]) -> TreeNode? {
    // 初始化哈希表，存储 inorder 元素到索引的映射
    let inorderMap = inorder.enumerated().reduce(into: [:]) { $0[$1.element] = $1.offset }
    return dfs(preorder: preorder, inorderMap: inorderMap, i: inorder.startIndex, l: inorder.startIndex, r: inorder.endIndex - 1)
}
```

=== "JS"

```javascript title="build_tree.js"
/* 构建二叉树：分治 */
function dfs(preorder, inorderMap, i, l, r) {
    // 子树区间为空时终止
    if (r - l < 0) return null;
    // 初始化根节点
    const root = new TreeNode(preorder[i]);
    // 查询 m ，从而划分左右子树
    const m = inorderMap.get(preorder[i]);
    // 子问题：构建左子树
    root.left = dfs(preorder, inorderMap, i + 1, l, m - 1);
    // 子问题：构建右子树
    root.right = dfs(preorder, inorderMap, i + 1 + m - l, m + 1, r);
    // 返回根节点
    return root;
}

/* 构建二叉树 */
function buildTree(preorder, inorder) {
    // 初始化哈希表，存储 inorder 元素到索引的映射
    let inorderMap = new Map();
    for (let i = 0; i < inorder.length; i++) {
        inorderMap.set(inorder[i], i);
    }
    const root = dfs(preorder, inorderMap, 0, 0, inorder.length - 1);
    return root;
}
```

=== "TS"

```typescript title="build_tree.ts"
/* 构建二叉树：分治 */
function dfs(
    preorder: number[],
    inorderMap: Map<number, number>,
    i: number,
    l: number,
    r: number
): TreeNode | null {
    // 子树区间为空时终止
    if (r - l < 0) return null;
    // 初始化根节点
    const root: TreeNode = new TreeNode(preorder[i]);
    // 查询 m ，从而划分左右子树
    const m = inorderMap.get(preorder[i]);
    // 子问题：构建左子树
    root.left = dfs(preorder, inorderMap, i + 1, l, m - 1);
    // 子问题：构建右子树
    root.right = dfs(preorder, inorderMap, i + 1 + m - l, m + 1, r);
    // 返回根节点
    return root;
}

/* 构建二叉树 */
function buildTree(preorder: number[], inorder: number[]): TreeNode | null {
    // 初始化哈希表，存储 inorder 元素到索引的映射
    let inorderMap = new Map<number, number>();
    for (let i = 0; i < inorder.length; i++) {
        inorderMap.set(inorder[i], i);
    }
    const root = dfs(preorder, inorderMap, 0, 0, inorder.length - 1);
    return root;
}
```

=== "Dart"

```dart title="build_tree.dart"
/* 构建二叉树：分治 */
TreeNode? dfs(
  List<int> preorder,
  Map<int, int> inorderMap,
  int i,
  int l,
  int r,
) {
  // 子树区间为空时终止
  if (r - l < 0) {
    return null;
  }
  // 初始化根节点
  TreeNode? root = TreeNode(preorder[i]);
  // 查询 m ，从而划分左右子树
  int m = inorderMap[preorder[i]]!;
  // 子问题：构建左子树
  root.left = dfs(preorder, inorderMap, i + 1, l, m - 1);
  // 子问题：构建右子树
  root.right = dfs(preorder, inorderMap, i + 1 + m - l, m + 1, r);
  // 返回根节点
  return root;
}

/* 构建二叉树 */
TreeNode? buildTree(List<int> preorder, List<int> inorder) {
  // 初始化哈希表，存储 inorder 元素到索引的映射
  Map<int, int> inorderMap = {};
  for (int i = 0; i < inorder.length; i++) {
    inorderMap[inorder[i]] = i;
  }
  TreeNode? root = dfs(preorder, inorderMap, 0, 0, inorder.length - 1);
  return root;
}
```

=== "Rust"

```rust title="build_tree.rs"
/* 构建二叉树：分治 */
fn dfs(
    preorder: &[i32],
    inorder_map: &HashMap<i32, i32>,
    i: i32,
    l: i32,
    r: i32,
) -> Option<Rc<RefCell<TreeNode>>> {
    // 子树区间为空时终止
    if r - l < 0 {
        return None;
    }
    // 初始化根节点
    let root = TreeNode::new(preorder[i as usize]);
    // 查询 m ，从而划分左右子树
    let m = inorder_map.get(&preorder[i as usize]).unwrap();
    // 子问题：构建左子树
    root.borrow_mut().left = dfs(preorder, inorder_map, i + 1, l, m - 1);
    // 子问题：构建右子树
    root.borrow_mut().right = dfs(preorder, inorder_map, i + 1 + m - l, m + 1, r);
    // 返回根节点
    Some(root)
}

/* 构建二叉树 */
fn build_tree(preorder: &[i32], inorder: &[i32]) -> Option<Rc<RefCell<TreeNode>>> {
    // 初始化哈希表，存储 inorder 元素到索引的映射
    let mut inorder_map: HashMap<i32, i32> = HashMap::new();
    for i in 0..inorder.len() {
        inorder_map.insert(inorder[i], i as i32);
    }
    let root = dfs(preorder, &inorder_map, 0, 0, inorder.len() as i32 - 1);
    root
}
```

=== "C"

```c title="build_tree.c"
/* 构建二叉树：分治 */
TreeNode *dfs(int *preorder, int *inorderMap, int i, int l, int r, int size) {
    // 子树区间为空时终止
    if (r - l < 0)
        return NULL;
    // 初始化根节点
    TreeNode *root = (TreeNode *)malloc(sizeof(TreeNode));
    root->val = preorder[i];
    root->left = NULL;
    root->right = NULL;
    // 查询 m ，从而划分左右子树
    int m = inorderMap[preorder[i]];
    // 子问题：构建左子树
    root->left = dfs(preorder, inorderMap, i + 1, l, m - 1, size);
    // 子问题：构建右子树
    root->right = dfs(preorder, inorderMap, i + 1 + m - l, m + 1, r, size);
    // 返回根节点
    return root;
}

/* 构建二叉树 */
TreeNode *buildTree(int *preorder, int preorderSize, int *inorder, int inorderSize) {
    // 初始化哈希表，存储 inorder 元素到索引的映射
    int *inorderMap = (int *)malloc(sizeof(int) * MAX_SIZE);
    for (int i = 0; i < inorderSize; i++) {
        inorderMap[inorder[i]] = i;
    }
    TreeNode *root = dfs(preorder, inorderMap, 0, 0, inorderSize - 1, inorderSize);
    free(inorderMap);
    return root;
}
```

=== "Kotlin"

```kotlin title="build_tree.kt"
/* 构建二叉树：分治 */
fun dfs(
    preorder: IntArray,
    inorderMap: Map<Int?, Int?>,
    i: Int,
    l: Int,
    r: Int
): TreeNode? {
    // 子树区间为空时终止
    if (r - l < 0) return null
    // 初始化根节点
    val root = TreeNode(preorder[i])
    // 查询 m ，从而划分左右子树
    val m = inorderMap[preorder[i]]!!
    // 子问题：构建左子树
    root.left = dfs(preorder, inorderMap, i + 1, l, m - 1)
    // 子问题：构建右子树
    root.right = dfs(preorder, inorderMap, i + 1 + m - l, m + 1, r)
    // 返回根节点
    return root
}

/* 构建二叉树 */
fun buildTree(preorder: IntArray, inorder: IntArray): TreeNode? {
    // 初始化哈希表，存储 inorder 元素到索引的映射
    val inorderMap = HashMap<Int?, Int?>()
    for (i in inorder.indices) {
        inorderMap[inorder[i]] = i
    }
    val root = dfs(preorder, inorderMap, 0, 0, inorder.size - 1)
    return root
}
```

=== "Ruby"

```ruby title="build_tree.rb"
### 构建二叉树：分治 ###
def dfs(preorder, inorder_map, i, l, r)
  # 子树区间为空时终止
  return if r - l < 0

  # 初始化根节点
  root = TreeNode.new(preorder[i])
  # 查询 m ，从而划分左右子树
  m = inorder_map[preorder[i]]
  # 子问题：构建左子树
  root.left = dfs(preorder, inorder_map, i + 1, l, m - 1)
  # 子问题：构建右子树
  root.right = dfs(preorder, inorder_map, i + 1 + m - l, m + 1, r)

  # 返回根节点
  root
end

### 构建二叉树 ###
def build_tree(preorder, inorder)
  # 初始化哈希表，存储 inorder 元素到索引的映射
  inorder_map = {}
  inorder.each_with_index { |val, i| inorder_map[val] = i }
  dfs(preorder, inorder_map, 0, 0, inorder.length - 1)
end
```

=== "Zig"

```zig title="build_tree.zig"
[class]{}-[func]{dfs}

[class]{}-[func]{buildTree}
```

??? pythontutor "可视化运行"

<div style="height: 549px; width: 100%;"><iframe class="pythontutor-iframe" src="https://pythontutor.com/iframe-embed.html#code=class%20TreeNode%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%E4%BA%8C%E5%8F%89%E6%A0%91%E8%8A%82%E7%82%B9%E7%B1%BB%22%22%22%0A%20%20%20%20def%20__init__%28self,%20val%3A%20int%20%3D%200%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20self.val%3A%20int%20%3D%20val%20%20%23%20%E8%8A%82%E7%82%B9%E5%80%BC%0A%20%20%20%20%20%20%20%20self.left%3A%20TreeNode%20%7C%20None%20%3D%20None%20%20%23%20%E5%B7%A6%E5%AD%90%E8%8A%82%E7%82%B9%E5%BC%95%E7%94%A8%0A%20%20%20%20%20%20%20%20self.right%3A%20TreeNode%20%7C%20None%20%3D%20None%20%20%23%20%E5%8F%B3%E5%AD%90%E8%8A%82%E7%82%B9%E5%BC%95%E7%94%A8%0A%0Adef%20dfs%28%0A%20%20%20%20preorder%3A%20list%5Bint%5D,%0A%20%20%20%20inorder_map%3A%20dict%5Bint,%20int%5D,%0A%20%20%20%20i%3A%20int,%0A%20%20%20%20l%3A%20int,%0A%20%20%20%20r%3A%20int,%0A%29%20-%3E%20TreeNode%20%7C%20None%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%E6%9E%84%E5%BB%BA%E4%BA%8C%E5%8F%89%E6%A0%91%EF%BC%9A%E5%88%86%E6%B2%BB%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%20%E5%AD%90%E6%A0%91%E5%8C%BA%E9%97%B4%E4%B8%BA%E7%A9%BA%E6%97%B6%E7%BB%88%E6%AD%A2%0A%20%20%20%20if%20r%20-%20l%20%3C%200%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20None%0A%20%20%20%20%23%20%E5%88%9D%E5%A7%8B%E5%8C%96%E6%A0%B9%E8%8A%82%E7%82%B9%0A%20%20%20%20root%20%3D%20TreeNode%28preorder%5Bi%5D%29%0A%20%20%20%20%23%20%E6%9F%A5%E8%AF%A2%20m%20%EF%BC%8C%E4%BB%8E%E8%80%8C%E5%88%92%E5%88%86%E5%B7%A6%E5%8F%B3%E5%AD%90%E6%A0%91%0A%20%20%20%20m%20%3D%20inorder_map%5Bpreorder%5Bi%5D%5D%0A%20%20%20%20%23%20%E5%AD%90%E9%97%AE%E9%A2%98%EF%BC%9A%E6%9E%84%E5%BB%BA%E5%B7%A6%E5%AD%90%E6%A0%91%0A%20%20%20%20root.left%20%3D%20dfs%28preorder,%20inorder_map,%20i%20%2B%201,%20l,%20m%20-%201%29%0A%20%20%20%20%23%20%E5%AD%90%E9%97%AE%E9%A2%98%EF%BC%9A%E6%9E%84%E5%BB%BA%E5%8F%B3%E5%AD%90%E6%A0%91%0A%20%20%20%20root.right%20%3D%20dfs%28preorder,%20inorder_map,%20i%20%2B%201%20%2B%20m%20-%20l,%20m%20%2B%201,%20r%29%0A%20%20%20%20%23%20%E8%BF%94%E5%9B%9E%E6%A0%B9%E8%8A%82%E7%82%B9%0A%20%20%20%20return%20root%0A%0A%0Adef%20build_tree%28preorder%3A%20list%5Bint%5D,%20inorder%3A%20list%5Bint%5D%29%20-%3E%20TreeNode%20%7C%20None%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%E6%9E%84%E5%BB%BA%E4%BA%8C%E5%8F%89%E6%A0%91%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%20%E5%88%9D%E5%A7%8B%E5%8C%96%E5%93%88%E5%B8%8C%E8%A1%A8%EF%BC%8C%E5%AD%98%E5%82%A8%20inorder%20%E5%85%83%E7%B4%A0%E5%88%B0%E7%B4%A2%E5%BC%95%E7%9A%84%E6%98%A0%E5%B0%84%0A%20%20%20%20inorder_map%20%3D%20%7Bval%3A%20i%20for%20i,%20val%20in%20enumerate%28inorder%29%7D%0A%20%20%20%20root%20%3D%20dfs%28preorder,%20inorder_map,%200,%200,%20len%28inorder%29%20-%201%29%0A%20%20%20%20return%20root%0A%0A%0A%22%22%22Driver%20Code%22%22%22%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20preorder%20%3D%20%5B3,%209,%202,%201,%207%5D%0A%20%20%20%20inorder%20%3D%20%5B9,%203,%201,%202,%207%5D%0A%20%20%20%20print%28f%22%E5%89%8D%E5%BA%8F%E9%81%8D%E5%8E%86%20%3D%20%7Bpreorder%7D%22%29%0A%20%20%20%20print%28f%22%E4%B8%AD%E5%BA%8F%E9%81%8D%E5%8E%86%20%3D%20%7Binorder%7D%22%29%0A%20%20%20%20root%20%3D%20build_tree%28preorder,%20inorder%29&codeDivHeight=472&codeDivWidth=350&cumulative=false&curInstr=21&heapPrimitives=nevernest&origin=opt-frontend.js&py=311&rawInputLstJSON=%5B%5D&textReferences=false"> </iframe></div>
<div style="margin-top: 5px;"><a href="https://pythontutor.com/iframe-embed.html#code=class%20TreeNode%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%E4%BA%8C%E5%8F%89%E6%A0%91%E8%8A%82%E7%82%B9%E7%B1%BB%22%22%22%0A%20%20%20%20def%20__init__%28self,%20val%3A%20int%20%3D%200%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20self.val%3A%20int%20%3D%20val%20%20%23%20%E8%8A%82%E7%82%B9%E5%80%BC%0A%20%20%20%20%20%20%20%20self.left%3A%20TreeNode%20%7C%20None%20%3D%20None%20%20%23%20%E5%B7%A6%E5%AD%90%E8%8A%82%E7%82%B9%E5%BC%95%E7%94%A8%0A%20%20%20%20%20%20%20%20self.right%3A%20TreeNode%20%7C%20None%20%3D%20None%20%20%23%20%E5%8F%B3%E5%AD%90%E8%8A%82%E7%82%B9%E5%BC%95%E7%94%A8%0A%0Adef%20dfs%28%0A%20%20%20%20preorder%3A%20list%5Bint%5D,%0A%20%20%20%20inorder_map%3A%20dict%5Bint,%20int%5D,%0A%20%20%20%20i%3A%20int,%0A%20%20%20%20l%3A%20int,%0A%20%20%20%20r%3A%20int,%0A%29%20-%3E%20TreeNode%20%7C%20None%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%E6%9E%84%E5%BB%BA%E4%BA%8C%E5%8F%89%E6%A0%91%EF%BC%9A%E5%88%86%E6%B2%BB%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%20%E5%AD%90%E6%A0%91%E5%8C%BA%E9%97%B4%E4%B8%BA%E7%A9%BA%E6%97%B6%E7%BB%88%E6%AD%A2%0A%20%20%20%20if%20r%20-%20l%20%3C%200%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20None%0A%20%20%20%20%23%20%E5%88%9D%E5%A7%8B%E5%8C%96%E6%A0%B9%E8%8A%82%E7%82%B9%0A%20%20%20%20root%20%3D%20TreeNode%28preorder%5Bi%5D%29%0A%20%20%20%20%23%20%E6%9F%A5%E8%AF%A2%20m%20%EF%BC%8C%E4%BB%8E%E8%80%8C%E5%88%92%E5%88%86%E5%B7%A6%E5%8F%B3%E5%AD%90%E6%A0%91%0A%20%20%20%20m%20%3D%20inorder_map%5Bpreorder%5Bi%5D%5D%0A%20%20%20%20%23%20%E5%AD%90%E9%97%AE%E9%A2%98%EF%BC%9A%E6%9E%84%E5%BB%BA%E5%B7%A6%E5%AD%90%E6%A0%91%0A%20%20%20%20root.left%20%3D%20dfs%28preorder,%20inorder_map,%20i%20%2B%201,%20l,%20m%20-%201%29%0A%20%20%20%20%23%20%E5%AD%90%E9%97%AE%E9%A2%98%EF%BC%9A%E6%9E%84%E5%BB%BA%E5%8F%B3%E5%AD%90%E6%A0%91%0A%20%20%20%20root.right%20%3D%20dfs%28preorder,%20inorder_map,%20i%20%2B%201%20%2B%20m%20-%20l,%20m%20%2B%201,%20r%29%0A%20%20%20%20%23%20%E8%BF%94%E5%9B%9E%E6%A0%B9%E8%8A%82%E7%82%B9%0A%20%20%20%20return%20root%0A%0A%0Adef%20build_tree%28preorder%3A%20list%5Bint%5D,%20inorder%3A%20list%5Bint%5D%29%20-%3E%20TreeNode%20%7C%20None%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%E6%9E%84%E5%BB%BA%E4%BA%8C%E5%8F%89%E6%A0%91%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%20%E5%88%9D%E5%A7%8B%E5%8C%96%E5%93%88%E5%B8%8C%E8%A1%A8%EF%BC%8C%E5%AD%98%E5%82%A8%20inorder%20%E5%85%83%E7%B4%A0%E5%88%B0%E7%B4%A2%E5%BC%95%E7%9A%84%E6%98%A0%E5%B0%84%0A%20%20%20%20inorder_map%20%3D%20%7Bval%3A%20i%20for%20i,%20val%20in%20enumerate%28inorder%29%7D%0A%20%20%20%20root%20%3D%20dfs%28preorder,%20inorder_map,%200,%200,%20len%28inorder%29%20-%201%29%0A%20%20%20%20return%20root%0A%0A%0A%22%22%22Driver%20Code%22%22%22%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20preorder%20%3D%20%5B3,%209,%202,%201,%207%5D%0A%20%20%20%20inorder%20%3D%20%5B9,%203,%201,%202,%207%5D%0A%20%20%20%20print%28f%22%E5%89%8D%E5%BA%8F%E9%81%8D%E5%8E%86%20%3D%20%7Bpreorder%7D%22%29%0A%20%20%20%20print%28f%22%E4%B8%AD%E5%BA%8F%E9%81%8D%E5%8E%86%20%3D%20%7Binorder%7D%22%29%0A%20%20%20%20root%20%3D%20build_tree%28preorder,%20inorder%29&codeDivHeight=800&codeDivWidth=600&cumulative=false&curInstr=21&heapPrimitives=nevernest&origin=opt-frontend.js&py=311&rawInputLstJSON=%5B%5D&textReferences=false" target="_blank" rel="noopener noreferrer">全屏观看 ></a></div>

图 12-8 展示了构建二叉树的递归过程，各个节点是在向下“递”的过程中建立的，而各条边（引用）是在向上“归”的过程中建立的。

=== "<1>" 构建二叉树的递归过程{ class="animation-figure" }

=== "<2>" built_tree_step2{ class="animation-figure" }

=== "<3>" built_tree_step3{ class="animation-figure" }

=== "<4>" built_tree_step4{ class="animation-figure" }

=== "<5>" built_tree_step5{ class="animation-figure" }

=== "<6>" built_tree_step6{ class="animation-figure" }

=== "<7>" built_tree_step7{ class="animation-figure" }

=== "<8>" built_tree_step8{ class="animation-figure" }

=== "<9>" built_tree_step9{ class="animation-figure" }

图 12-8   构建二叉树的递归过程

每个递归函数内的前序遍历 preorder 和中序遍历 inorder 的划分结果如图 12-9 所示。

每个递归函数中的划分结果{ class="animation-figure" }

图 12-9   每个递归函数中的划分结果

设树的节点数量为 n ，初始化每一个节点（执行一个递归函数 dfs() ）使用 O(1) 时间。因此总体时间复杂度为 O(n) 。

哈希表存储 inorder 元素到索引的映射，空间复杂度为 O(n) 。在最差情况下，即二叉树退化为链表时，递归深度达到 n ，使用 O(n) 的栈帧空间。因此总体空间复杂度为 O(n) 。