83 KiB

Raw Blame History Unescape Escape

comments
true

8.1 堆積

堆積（heap）是一種滿足特定條件的完全二元樹，主要可分為兩種型別，如圖 8-1 所示。

小頂堆積（min heap）：任意節點的值 \leq 其子節點的值。
大頂堆積（max heap）：任意節點的值 \geq 其子節點的值。

{ class="animation-figure" }

圖 8-1 小頂堆積與大頂堆積

堆積作為完全二元樹的一個特例，具有以下特性。

最底層節點靠左填充，其他層的節點都被填滿。
我們將二元樹的根節點稱為“堆積頂”，將底層最靠右的節點稱為“堆積底”。
對於大頂堆積（小頂堆積），堆積頂元素（根節點）的值是最大（最小）的。

8.1.1 堆積的常用操作

需要指出的是，許多程式語言提供的是優先佇列（priority queue），這是一種抽象的資料結構，定義為具有優先順序排序的佇列。

實際上，堆積通常用於實現優先佇列，大頂堆積相當於元素按從大到小的順序出列的優先佇列。從使用角度來看，我們可以將“優先佇列”和“堆積”看作等價的資料結構。因此，本書對兩者不做特別區分，統一稱作“堆積”。

堆積的常用操作見表 8-1 ，方法名需要根據程式語言來確定。

表 8-1 堆積的操作效率

方法名	描述	時間複雜度
`push()`	元素入堆積	`O(\log n)`
`pop()`	堆積頂元素出堆積	`O(\log n)`
`peek()`	訪問堆積頂元素（對於大 / 小頂堆積分別為最大 / 小值）	`O(1)`
`size()`	獲取堆積的元素數量	`O(1)`
`isEmpty()`	判斷堆積是否為空	`O(1)`

在實際應用中，我們可以直接使用程式語言提供的堆積類別（或優先佇列類別）。

類似於排序演算法中的“從小到大排列”和“從大到小排列”，我們可以透過設定一個 flag 或修改 Comparator 實現“小頂堆積”與“大頂堆積”之間的轉換。程式碼如下所示：

=== "Python"

```python title="heap.py"
# 初始化小頂堆積
min_heap, flag = [], 1
# 初始化大頂堆積
max_heap, flag = [], -1

# Python 的 heapq 模組預設實現小頂堆積
# 考慮將“元素取負”後再入堆積，這樣就可以將大小關係顛倒，從而實現大頂堆積
# 在本示例中，flag = 1 時對應小頂堆積，flag = -1 時對應大頂堆積

# 元素入堆積
heapq.heappush(max_heap, flag * 1)
heapq.heappush(max_heap, flag * 3)
heapq.heappush(max_heap, flag * 2)
heapq.heappush(max_heap, flag * 5)
heapq.heappush(max_heap, flag * 4)

# 獲取堆積頂元素
peek: int = flag * max_heap[0] # 5

# 堆積頂元素出堆積
# 出堆積元素會形成一個從大到小的序列
val = flag * heapq.heappop(max_heap) # 5
val = flag * heapq.heappop(max_heap) # 4
val = flag * heapq.heappop(max_heap) # 3
val = flag * heapq.heappop(max_heap) # 2
val = flag * heapq.heappop(max_heap) # 1

# 獲取堆積大小
size: int = len(max_heap)

# 判斷堆積是否為空
is_empty: bool = not max_heap

# 輸入串列並建堆積
min_heap: list[int] = [1, 3, 2, 5, 4]
heapq.heapify(min_heap)
```

=== "C++"

```cpp title="heap.cpp"
/* 初始化堆積 */
// 初始化小頂堆積
priority_queue<int, vector<int>, greater<int>> minHeap;
// 初始化大頂堆積
priority_queue<int, vector<int>, less<int>> maxHeap;

/* 元素入堆積 */
maxHeap.push(1);
maxHeap.push(3);
maxHeap.push(2);
maxHeap.push(5);
maxHeap.push(4);

/* 獲取堆積頂元素 */
int peek = maxHeap.top(); // 5

/* 堆積頂元素出堆積 */
// 出堆積元素會形成一個從大到小的序列
maxHeap.pop(); // 5
maxHeap.pop(); // 4
maxHeap.pop(); // 3
maxHeap.pop(); // 2
maxHeap.pop(); // 1

/* 獲取堆積大小 */
int size = maxHeap.size();

/* 判斷堆積是否為空 */
bool isEmpty = maxHeap.empty();

/* 輸入串列並建堆積 */
vector<int> input{1, 3, 2, 5, 4};
priority_queue<int, vector<int>, greater<int>> minHeap(input.begin(), input.end());
```

=== "Java"

```java title="heap.java"
/* 初始化堆積 */
// 初始化小頂堆積
Queue<Integer> minHeap = new PriorityQueue<>();
// 初始化大頂堆積（使用 lambda 表示式修改 Comparator 即可）
Queue<Integer> maxHeap = new PriorityQueue<>((a, b) -> b - a);

/* 元素入堆積 */
maxHeap.offer(1);
maxHeap.offer(3);
maxHeap.offer(2);
maxHeap.offer(5);
maxHeap.offer(4);

/* 獲取堆積頂元素 */
int peek = maxHeap.peek(); // 5

/* 堆積頂元素出堆積 */
// 出堆積元素會形成一個從大到小的序列
peek = maxHeap.poll(); // 5
peek = maxHeap.poll(); // 4
peek = maxHeap.poll(); // 3
peek = maxHeap.poll(); // 2
peek = maxHeap.poll(); // 1

/* 獲取堆積大小 */
int size = maxHeap.size();

/* 判斷堆積是否為空 */
boolean isEmpty = maxHeap.isEmpty();

/* 輸入串列並建堆積 */
minHeap = new PriorityQueue<>(Arrays.asList(1, 3, 2, 5, 4));
```

=== "C#"

```csharp title="heap.cs"
/* 初始化堆積 */
// 初始化小頂堆積
PriorityQueue<int, int> minHeap = new();
// 初始化大頂堆積（使用 lambda 表示式修改 Comparator 即可）
PriorityQueue<int, int> maxHeap = new(Comparer<int>.Create((x, y) => y - x));

/* 元素入堆積 */
maxHeap.Enqueue(1, 1);
maxHeap.Enqueue(3, 3);
maxHeap.Enqueue(2, 2);
maxHeap.Enqueue(5, 5);
maxHeap.Enqueue(4, 4);

/* 獲取堆積頂元素 */
int peek = maxHeap.Peek();//5

/* 堆積頂元素出堆積 */
// 出堆積元素會形成一個從大到小的序列
peek = maxHeap.Dequeue();  // 5
peek = maxHeap.Dequeue();  // 4
peek = maxHeap.Dequeue();  // 3
peek = maxHeap.Dequeue();  // 2
peek = maxHeap.Dequeue();  // 1

/* 獲取堆積大小 */
int size = maxHeap.Count;

/* 判斷堆積是否為空 */
bool isEmpty = maxHeap.Count == 0;

/* 輸入串列並建堆積 */
minHeap = new PriorityQueue<int, int>([(1, 1), (3, 3), (2, 2), (5, 5), (4, 4)]);
```

=== "Go"

```go title="heap.go"
// Go 語言中可以透過實現 heap.Interface 來構建整數大頂堆積
// 實現 heap.Interface 需要同時實現 sort.Interface
type intHeap []any

// Push heap.Interface 的方法，實現推入元素到堆積
func (h *intHeap) Push(x any) {
    // Push 和 Pop 使用 pointer receiver 作為參數
    // 因為它們不僅會對切片的內容進行調整，還會修改切片的長度。
    *h = append(*h, x.(int))
}

// Pop heap.Interface 的方法，實現彈出堆積頂元素
func (h *intHeap) Pop() any {
    // 待出堆積元素存放在最後
    last := (*h)[len(*h)-1]
    *h = (*h)[:len(*h)-1]
    return last
}

// Len sort.Interface 的方法
func (h *intHeap) Len() int {
    return len(*h)
}

// Less sort.Interface 的方法
func (h *intHeap) Less(i, j int) bool {
    // 如果實現小頂堆積，則需要調整為小於號
    return (*h)[i].(int) > (*h)[j].(int)
}

// Swap sort.Interface 的方法
func (h *intHeap) Swap(i, j int) {
    (*h)[i], (*h)[j] = (*h)[j], (*h)[i]
}

// Top 獲取堆積頂元素
func (h *intHeap) Top() any {
    return (*h)[0]
}

/* Driver Code */
func TestHeap(t *testing.T) {
    /* 初始化堆積 */
    // 初始化大頂堆積
    maxHeap := &intHeap{}
    heap.Init(maxHeap)
    /* 元素入堆積 */
    // 呼叫 heap.Interface 的方法，來新增元素
    heap.Push(maxHeap, 1)
    heap.Push(maxHeap, 3)
    heap.Push(maxHeap, 2)
    heap.Push(maxHeap, 4)
    heap.Push(maxHeap, 5)

    /* 獲取堆積頂元素 */
    top := maxHeap.Top()
    fmt.Printf("堆積頂元素為 %d\n", top)

    /* 堆積頂元素出堆積 */
    // 呼叫 heap.Interface 的方法，來移除元素
    heap.Pop(maxHeap) // 5
    heap.Pop(maxHeap) // 4
    heap.Pop(maxHeap) // 3
    heap.Pop(maxHeap) // 2
    heap.Pop(maxHeap) // 1

    /* 獲取堆積大小 */
    size := len(*maxHeap)
    fmt.Printf("堆積元素數量為 %d\n", size)

    /* 判斷堆積是否為空 */
    isEmpty := len(*maxHeap) == 0
    fmt.Printf("堆積是否為空 %t\n", isEmpty)
}
```

=== "Swift"

```swift title="heap.swift"
/* 初始化堆積 */
// Swift 的 Heap 型別同時支持最大堆積和最小堆積，且需要引入 swift-collections
var heap = Heap<Int>()

/* 元素入堆積 */
heap.insert(1)
heap.insert(3)
heap.insert(2)
heap.insert(5)
heap.insert(4)

/* 獲取堆積頂元素 */
var peek = heap.max()!

/* 堆積頂元素出堆積 */
peek = heap.removeMax() // 5
peek = heap.removeMax() // 4
peek = heap.removeMax() // 3
peek = heap.removeMax() // 2
peek = heap.removeMax() // 1

/* 獲取堆積大小 */
let size = heap.count

/* 判斷堆積是否為空 */
let isEmpty = heap.isEmpty

/* 輸入串列並建堆積 */
let heap2 = Heap([1, 3, 2, 5, 4])
```

=== "JS"

```javascript title="heap.js"
// JavaScript 未提供內建 Heap 類別
```

=== "TS"

```typescript title="heap.ts"
// TypeScript 未提供內建 Heap 類別
```

=== "Dart"

```dart title="heap.dart"
// Dart 未提供內建 Heap 類別
```

=== "Rust"

```rust title="heap.rs"
use std::collections::BinaryHeap;
use std::cmp::Reverse;

/* 初始化堆積 */
// 初始化小頂堆積
let mut min_heap = BinaryHeap::<Reverse<i32>>::new();
// 初始化大頂堆積
let mut max_heap = BinaryHeap::new();

/* 元素入堆積 */
max_heap.push(1);
max_heap.push(3);
max_heap.push(2);
max_heap.push(5);
max_heap.push(4);

/* 獲取堆積頂元素 */
let peek = max_heap.peek().unwrap();  // 5

/* 堆積頂元素出堆積 */
// 出堆積元素會形成一個從大到小的序列
let peek = max_heap.pop().unwrap();   // 5
let peek = max_heap.pop().unwrap();   // 4
let peek = max_heap.pop().unwrap();   // 3
let peek = max_heap.pop().unwrap();   // 2
let peek = max_heap.pop().unwrap();   // 1

/* 獲取堆積大小 */
let size = max_heap.len();

/* 判斷堆積是否為空 */
let is_empty = max_heap.is_empty();

/* 輸入串列並建堆積 */
let min_heap = BinaryHeap::from(vec![Reverse(1), Reverse(3), Reverse(2), Reverse(5), Reverse(4)]);
```

=== "C"

```c title="heap.c"
// C 未提供內建 Heap 類別
```

=== "Kotlin"

```kotlin title="heap.kt"
/* 初始化堆積 */
// 初始化小頂堆積
var minHeap = PriorityQueue<Int>()
// 初始化大頂堆積（使用 lambda 表示式修改 Comparator 即可）
val maxHeap = PriorityQueue { a: Int, b: Int -> b - a }

/* 元素入堆積 */
maxHeap.offer(1)
maxHeap.offer(3)
maxHeap.offer(2)
maxHeap.offer(5)
maxHeap.offer(4)

/* 獲取堆積頂元素 */
var peek = maxHeap.peek() // 5

/* 堆積頂元素出堆積 */
// 出堆積元素會形成一個從大到小的序列
peek = maxHeap.poll() // 5
peek = maxHeap.poll() // 4
peek = maxHeap.poll() // 3
peek = maxHeap.poll() // 2
peek = maxHeap.poll() // 1

/* 獲取堆積大小 */
val size = maxHeap.size

/* 判斷堆積是否為空 */
val isEmpty = maxHeap.isEmpty()

/* 輸入串列並建堆積 */
minHeap = PriorityQueue(mutableListOf(1, 3, 2, 5, 4))
```

=== "Ruby"

```ruby title="heap.rb"
# Ruby 未提供內建 Heap 類別
```

=== "Zig"

```zig title="heap.zig"

```

??? pythontutor "視覺化執行"

<div style="height: 549px; width: 100%;"><iframe class="pythontutor-iframe" src="https://pythontutor.com/iframe-embed.html#code=import%20heapq%0A%0A%22%22%22Driver%20Code%22%22%22%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20%23%20%E5%88%9D%E5%A7%8B%E5%8C%96%E5%B0%8F%E9%A0%82%E5%A0%86%E7%A9%8D%0A%20%20%20%20min_heap%2C%20flag%20%3D%20%5B%5D%2C%201%0A%20%20%20%20%23%20%E5%88%9D%E5%A7%8B%E5%8C%96%E5%A4%A7%E9%A0%82%E5%A0%86%E7%A9%8D%0A%20%20%20%20max_heap%2C%20flag%20%3D%20%5B%5D%2C%20-1%0A%20%20%20%20%0A%20%20%20%20%23%20Python%20%E7%9A%84%20heapq%20%E6%A8%A1%E7%B5%84%E9%A0%90%E8%A8%AD%E5%AF%A6%E7%8F%BE%E5%B0%8F%E9%A0%82%E5%A0%86%E7%A9%8D%0A%20%20%20%20%23%20%E8%80%83%E6%85%AE%E5%B0%87%E2%80%9C%E5%85%83%E7%B4%A0%E5%8F%96%E8%B2%A0%E2%80%9D%E5%BE%8C%E5%86%8D%E5%85%A5%E5%A0%86%E7%A9%8D%EF%BC%8C%E9%80%99%E6%A8%A3%E5%B0%B1%E5%8F%AF%E4%BB%A5%E5%B0%87%E5%A4%A7%E5%B0%8F%E9%97%9C%E4%BF%82%E9%A1%9B%E5%80%92%EF%BC%8C%E5%BE%9E%E8%80%8C%E5%AF%A6%E7%8F%BE%E5%A4%A7%E9%A0%82%E5%A0%86%E7%A9%8D%0A%20%20%20%20%23%20%E5%9C%A8%E6%9C%AC%E7%A4%BA%E4%BE%8B%E4%B8%AD%EF%BC%8Cflag%20%3D%201%20%E6%99%82%E5%B0%8D%E6%87%89%E5%B0%8F%E9%A0%82%E5%A0%86%E7%A9%8D%EF%BC%8Cflag%20%3D%20-1%20%E6%99%82%E5%B0%8D%E6%87%89%E5%A4%A7%E9%A0%82%E5%A0%86%E7%A9%8D%0A%20%20%20%20%0A%20%20%20%20%23%20%E5%85%83%E7%B4%A0%E5%85%A5%E5%A0%86%E7%A9%8D%0A%20%20%20%20heapq.heappush%28max_heap%2C%20flag%20%2A%201%29%0A%20%20%20%20heapq.heappush%28max_heap%2C%20flag%20%2A%203%29%0A%20%20%20%20heapq.heappush%28max_heap%2C%20flag%20%2A%202%29%0A%20%20%20%20heapq.heappush%28max_heap%2C%20flag%20%2A%205%29%0A%20%20%20%20heapq.heappush%28max_heap%2C%20flag%20%2A%204%29%0A%20%20%20%20%0A%20%20%20%20%23%20%E7%8D%B2%E5%8F%96%E5%A0%86%E7%A9%8D%E9%A0%82%E5%85%83%E7%B4%A0%0A%20%20%20%20peek%20%3D%20flag%20%2A%20max_heap%5B0%5D%20%23%205%0A%20%20%20%20%0A%20%20%20%20%23%20%E5%A0%86%E7%A9%8D%E9%A0%82%E5%85%83%E7%B4%A0%E5%87%BA%E5%A0%86%E7%A9%8D%0A%20%20%20%20%23%20%E5%87%BA%E5%A0%86%E7%A9%8D%E5%85%83%E7%B4%A0%E6%9C%83%E5%BD%A2%E6%88%90%E4%B8%80%E5%80%8B%E5%BE%9E%E5%A4%A7%E5%88%B0%E5%B0%8F%E7%9A%84%E5%BA%8F%E5%88%97%0A%20%20%20%20val%20%3D%20flag%20%2A%20heapq.heappop%28max_heap%29%20%23%205%0A%20%20%20%20val%20%3D%20flag%20%2A%20heapq.heappop%28max_heap%29%20%23%204%0A%20%20%20%20val%20%3D%20flag%20%2A%20heapq.heappop%28max_heap%29%20%23%203%0A%20%20%20%20val%20%3D%20flag%20%2A%20heapq.heappop%28max_heap%29%20%23%202%0A%20%20%20%20val%20%3D%20flag%20%2A%20heapq.heappop%28max_heap%29%20%23%201%0A%20%20%20%20%0A%20%20%20%20%23%20%E7%8D%B2%E5%8F%96%E5%A0%86%E7%A9%8D%E5%A4%A7%E5%B0%8F%0A%20%20%20%20size%20%3D%20len%28max_heap%29%0A%20%20%20%20%0A%20%20%20%20%23%20%E5%88%A4%E6%96%B7%E5%A0%86%E7%A9%8D%E6%98%AF%E5%90%A6%E7%82%BA%E7%A9%BA%0A%20%20%20%20is_empty%20%3D%20not%20max_heap%0A%20%20%20%20%0A%20%20%20%20%23%20%E8%BC%B8%E5%85%A5%E4%B8%B2%E5%88%97%E4%B8%A6%E5%BB%BA%E5%A0%86%E7%A9%8D%0A%20%20%20%20min_heap%20%3D%20%5B1%2C%203%2C%202%2C%205%2C%204%5D%0A%20%20%20%20heapq.heapify%28min_heap%29&codeDivHeight=472&codeDivWidth=350&cumulative=false&curInstr=3&heapPrimitives=nevernest&origin=opt-frontend.js&py=311&rawInputLstJSON=%5B%5D&textReferences=false"> </iframe></div>
<div style="margin-top: 5px;"><a href="https://pythontutor.com/iframe-embed.html#code=import%20heapq%0A%0A%22%22%22Driver%20Code%22%22%22%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20%23%20%E5%88%9D%E5%A7%8B%E5%8C%96%E5%B0%8F%E9%A0%82%E5%A0%86%E7%A9%8D%0A%20%20%20%20min_heap%2C%20flag%20%3D%20%5B%5D%2C%201%0A%20%20%20%20%23%20%E5%88%9D%E5%A7%8B%E5%8C%96%E5%A4%A7%E9%A0%82%E5%A0%86%E7%A9%8D%0A%20%20%20%20max_heap%2C%20flag%20%3D%20%5B%5D%2C%20-1%0A%20%20%20%20%0A%20%20%20%20%23%20Python%20%E7%9A%84%20heapq%20%E6%A8%A1%E7%B5%84%E9%A0%90%E8%A8%AD%E5%AF%A6%E7%8F%BE%E5%B0%8F%E9%A0%82%E5%A0%86%E7%A9%8D%0A%20%20%20%20%23%20%E8%80%83%E6%85%AE%E5%B0%87%E2%80%9C%E5%85%83%E7%B4%A0%E5%8F%96%E8%B2%A0%E2%80%9D%E5%BE%8C%E5%86%8D%E5%85%A5%E5%A0%86%E7%A9%8D%EF%BC%8C%E9%80%99%E6%A8%A3%E5%B0%B1%E5%8F%AF%E4%BB%A5%E5%B0%87%E5%A4%A7%E5%B0%8F%E9%97%9C%E4%BF%82%E9%A1%9B%E5%80%92%EF%BC%8C%E5%BE%9E%E8%80%8C%E5%AF%A6%E7%8F%BE%E5%A4%A7%E9%A0%82%E5%A0%86%E7%A9%8D%0A%20%20%20%20%23%20%E5%9C%A8%E6%9C%AC%E7%A4%BA%E4%BE%8B%E4%B8%AD%EF%BC%8Cflag%20%3D%201%20%E6%99%82%E5%B0%8D%E6%87%89%E5%B0%8F%E9%A0%82%E5%A0%86%E7%A9%8D%EF%BC%8Cflag%20%3D%20-1%20%E6%99%82%E5%B0%8D%E6%87%89%E5%A4%A7%E9%A0%82%E5%A0%86%E7%A9%8D%0A%20%20%20%20%0A%20%20%20%20%23%20%E5%85%83%E7%B4%A0%E5%85%A5%E5%A0%86%E7%A9%8D%0A%20%20%20%20heapq.heappush%28max_heap%2C%20flag%20%2A%201%29%0A%20%20%20%20heapq.heappush%28max_heap%2C%20flag%20%2A%203%29%0A%20%20%20%20heapq.heappush%28max_heap%2C%20flag%20%2A%202%29%0A%20%20%20%20heapq.heappush%28max_heap%2C%20flag%20%2A%205%29%0A%20%20%20%20heapq.heappush%28max_heap%2C%20flag%20%2A%204%29%0A%20%20%20%20%0A%20%20%20%20%23%20%E7%8D%B2%E5%8F%96%E5%A0%86%E7%A9%8D%E9%A0%82%E5%85%83%E7%B4%A0%0A%20%20%20%20peek%20%3D%20flag%20%2A%20max_heap%5B0%5D%20%23%205%0A%20%20%20%20%0A%20%20%20%20%23%20%E5%A0%86%E7%A9%8D%E9%A0%82%E5%85%83%E7%B4%A0%E5%87%BA%E5%A0%86%E7%A9%8D%0A%20%20%20%20%23%20%E5%87%BA%E5%A0%86%E7%A9%8D%E5%85%83%E7%B4%A0%E6%9C%83%E5%BD%A2%E6%88%90%E4%B8%80%E5%80%8B%E5%BE%9E%E5%A4%A7%E5%88%B0%E5%B0%8F%E7%9A%84%E5%BA%8F%E5%88%97%0A%20%20%20%20val%20%3D%20flag%20%2A%20heapq.heappop%28max_heap%29%20%23%205%0A%20%20%20%20val%20%3D%20flag%20%2A%20heapq.heappop%28max_heap%29%20%23%204%0A%20%20%20%20val%20%3D%20flag%20%2A%20heapq.heappop%28max_heap%29%20%23%203%0A%20%20%20%20val%20%3D%20flag%20%2A%20heapq.heappop%28max_heap%29%20%23%202%0A%20%20%20%20val%20%3D%20flag%20%2A%20heapq.heappop%28max_heap%29%20%23%201%0A%20%20%20%20%0A%20%20%20%20%23%20%E7%8D%B2%E5%8F%96%E5%A0%86%E7%A9%8D%E5%A4%A7%E5%B0%8F%0A%20%20%20%20size%20%3D%20len%28max_heap%29%0A%20%20%20%20%0A%20%20%20%20%23%20%E5%88%A4%E6%96%B7%E5%A0%86%E7%A9%8D%E6%98%AF%E5%90%A6%E7%82%BA%E7%A9%BA%0A%20%20%20%20is_empty%20%3D%20not%20max_heap%0A%20%20%20%20%0A%20%20%20%20%23%20%E8%BC%B8%E5%85%A5%E4%B8%B2%E5%88%97%E4%B8%A6%E5%BB%BA%E5%A0%86%E7%A9%8D%0A%20%20%20%20min_heap%20%3D%20%5B1%2C%203%2C%202%2C%205%2C%204%5D%0A%20%20%20%20heapq.heapify%28min_heap%29&codeDivHeight=800&codeDivWidth=600&cumulative=false&curInstr=3&heapPrimitives=nevernest&origin=opt-frontend.js&py=311&rawInputLstJSON=%5B%5D&textReferences=false" target="_blank" rel="noopener noreferrer">全螢幕觀看 ></a></div>

8.1.2 堆積的實現

下文實現的是大頂堆積。若要將其轉換為小頂堆積，只需將所有大小邏輯判斷進行逆轉（例如，將 \geq 替換為 \leq ）。感興趣的讀者可以自行實現。

1. 堆積的儲存與表示

“二元樹”章節講過，完全二元樹非常適合用陣列來表示。由於堆積正是一種完全二元樹，因此我們將採用陣列來儲存堆積。

當使用陣列表示二元樹時，元素代表節點值，索引代表節點在二元樹中的位置。節點指標透過索引對映公式來實現。

如圖 8-2 所示，給定索引 i ，其左子節點的索引為 2i + 1 ，右子節點的索引為 2i + 2 ，父節點的索引為 (i - 1) / 2（向下整除）。當索引越界時，表示空節點或節點不存在。

{ class="animation-figure" }

圖 8-2 堆積的表示與儲存

我們可以將索引對映公式封裝成函式，方便後續使用：

=== "Python"

```python title="my_heap.py"
def left(self, i: int) -> int:
    """獲取左子節點的索引"""
    return 2 * i + 1

def right(self, i: int) -> int:
    """獲取右子節點的索引"""
    return 2 * i + 2

def parent(self, i: int) -> int:
    """獲取父節點的索引"""
    return (i - 1) // 2  # 向下整除
```

=== "C++"

```cpp title="my_heap.cpp"
/* 獲取左子節點的索引 */
int left(int i) {
    return 2 * i + 1;
}

/* 獲取右子節點的索引 */
int right(int i) {
    return 2 * i + 2;
}

/* 獲取父節點的索引 */
int parent(int i) {
    return (i - 1) / 2; // 向下整除
}
```

=== "Java"

```java title="my_heap.java"
/* 獲取左子節點的索引 */
int left(int i) {
    return 2 * i + 1;
}

/* 獲取右子節點的索引 */
int right(int i) {
    return 2 * i + 2;
}

/* 獲取父節點的索引 */
int parent(int i) {
    return (i - 1) / 2; // 向下整除
}
```

=== "C#"

```csharp title="my_heap.cs"
/* 獲取左子節點的索引 */
int Left(int i) {
    return 2 * i + 1;
}

/* 獲取右子節點的索引 */
int Right(int i) {
    return 2 * i + 2;
}

/* 獲取父節點的索引 */
int Parent(int i) {
    return (i - 1) / 2; // 向下整除
}
```

=== "Go"

```go title="my_heap.go"
/* 獲取左子節點的索引 */
func (h *maxHeap) left(i int) int {
    return 2*i + 1
}

/* 獲取右子節點的索引 */
func (h *maxHeap) right(i int) int {
    return 2*i + 2
}

/* 獲取父節點的索引 */
func (h *maxHeap) parent(i int) int {
    // 向下整除
    return (i - 1) / 2
}
```

=== "Swift"

```swift title="my_heap.swift"
/* 獲取左子節點的索引 */
func left(i: Int) -> Int {
    2 * i + 1
}

/* 獲取右子節點的索引 */
func right(i: Int) -> Int {
    2 * i + 2
}

/* 獲取父節點的索引 */
func parent(i: Int) -> Int {
    (i - 1) / 2 // 向下整除
}
```

=== "JS"

```javascript title="my_heap.js"
/* 獲取左子節點的索引 */
#left(i) {
    return 2 * i + 1;
}

/* 獲取右子節點的索引 */
#right(i) {
    return 2 * i + 2;
}

/* 獲取父節點的索引 */
#parent(i) {
    return Math.floor((i - 1) / 2); // 向下整除
}
```

=== "TS"

```typescript title="my_heap.ts"
/* 獲取左子節點的索引 */
left(i: number): number {
    return 2 * i + 1;
}

/* 獲取右子節點的索引 */
right(i: number): number {
    return 2 * i + 2;
}

/* 獲取父節點的索引 */
parent(i: number): number {
    return Math.floor((i - 1) / 2); // 向下整除
}
```

=== "Dart"

```dart title="my_heap.dart"
/* 獲取左子節點的索引 */
int _left(int i) {
  return 2 * i + 1;
}

/* 獲取右子節點的索引 */
int _right(int i) {
  return 2 * i + 2;
}

/* 獲取父節點的索引 */
int _parent(int i) {
  return (i - 1) ~/ 2; // 向下整除
}
```

=== "Rust"

```rust title="my_heap.rs"
/* 獲取左子節點的索引 */
fn left(i: usize) -> usize {
    2 * i + 1
}

/* 獲取右子節點的索引 */
fn right(i: usize) -> usize {
    2 * i + 2
}

/* 獲取父節點的索引 */
fn parent(i: usize) -> usize {
    (i - 1) / 2 // 向下整除
}
```

=== "C"

```c title="my_heap.c"
/* 獲取左子節點的索引 */
int left(MaxHeap *maxHeap, int i) {
    return 2 * i + 1;
}

/* 獲取右子節點的索引 */
int right(MaxHeap *maxHeap, int i) {
    return 2 * i + 2;
}

/* 獲取父節點的索引 */
int parent(MaxHeap *maxHeap, int i) {
    return (i - 1) / 2; // 向下取整
}
```

=== "Kotlin"

```kotlin title="my_heap.kt"
/* 獲取左子節點的索引 */
fun left(i: Int): Int {
    return 2 * i + 1
}

/* 獲取右子節點的索引 */
fun right(i: Int): Int {
    return 2 * i + 2
}

/* 獲取父節點的索引 */
fun parent(i: Int): Int {
    return (i - 1) / 2 // 向下整除
}
```

=== "Ruby"

```ruby title="my_heap.rb"
### 獲取左子節點的索引 ###
def left(i)
  2 * i + 1
end

### 獲取右子節點的索引 ###
def right(i)
  2 * i + 2
end

### 獲取父節點的索引 ###
def parent(i)
  (i - 1) / 2     # 向下整除
end
```

=== "Zig"

```zig title="my_heap.zig"
// 獲取左子節點的索引
fn left(i: usize) usize {
    return 2 * i + 1;
}

// 獲取右子節點的索引
fn right(i: usize) usize {
    return 2 * i + 2;
}

// 獲取父節點的索引
fn parent(i: usize) usize {
    // return (i - 1) / 2; // 向下整除
    return @divFloor(i - 1, 2);
}
```

2. 訪問堆積頂元素

堆積頂元素即為二元樹的根節點，也就是串列的首個元素：

=== "Python"

```python title="my_heap.py"
def peek(self) -> int:
    """訪問堆積頂元素"""
    return self.max_heap[0]
```

=== "C++"

```cpp title="my_heap.cpp"
/* 訪問堆積頂元素 */
int peek() {
    return maxHeap[0];
}
```

=== "Java"

```java title="my_heap.java"
/* 訪問堆積頂元素 */
int peek() {
    return maxHeap.get(0);
}
```

=== "C#"

```csharp title="my_heap.cs"
/* 訪問堆積頂元素 */
int Peek() {
    return maxHeap[0];
}
```

=== "Go"

```go title="my_heap.go"
/* 訪問堆積頂元素 */
func (h *maxHeap) peek() any {
    return h.data[0]
}
```

=== "Swift"

```swift title="my_heap.swift"
/* 訪問堆積頂元素 */
func peek() -> Int {
    maxHeap[0]
}
```

=== "JS"

```javascript title="my_heap.js"
/* 訪問堆積頂元素 */
peek() {
    return this.#maxHeap[0];
}
```

=== "TS"

```typescript title="my_heap.ts"
/* 訪問堆積頂元素 */
peek(): number {
    return this.maxHeap[0];
}
```

=== "Dart"

```dart title="my_heap.dart"
/* 訪問堆積頂元素 */
int peek() {
  return _maxHeap[0];
}
```

=== "Rust"

```rust title="my_heap.rs"
/* 訪問堆積頂元素 */
fn peek(&self) -> Option<i32> {
    self.max_heap.first().copied()
}
```

=== "C"

```c title="my_heap.c"
/* 訪問堆積頂元素 */
int peek(MaxHeap *maxHeap) {
    return maxHeap->data[0];
}
```

=== "Kotlin"

```kotlin title="my_heap.kt"
/* 訪問堆積頂元素 */
fun peek(): Int {
    return maxHeap[0]
}
```

=== "Ruby"

```ruby title="my_heap.rb"
### 訪問堆積頂元素 ###
def peek
  @max_heap[0]
end
```

=== "Zig"

```zig title="my_heap.zig"
// 訪問堆積頂元素
fn peek(self: *Self) T {
    return self.max_heap.?.items[0];
}  
```

??? pythontutor "視覺化執行"

<div style="height: 549px; width: 100%;"><iframe class="pythontutor-iframe" src="https://pythontutor.com/iframe-embed.html#code=class%20MaxHeap%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%E5%A4%A7%E9%A0%82%E5%A0%86%E7%A9%8D%22%22%22%0A%0A%20%20%20%20def%20__init__%28self%2C%20nums%3A%20list%5Bint%5D%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%E5%BB%BA%E6%A7%8B%E5%AD%90%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E5%B0%87%E4%B8%B2%E5%88%97%E5%85%83%E7%B4%A0%E5%8E%9F%E5%B0%81%E4%B8%8D%E5%8B%95%E6%96%B0%E5%A2%9E%E9%80%B2%E5%A0%86%E7%A9%8D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20self.max_heap%20%3D%20nums%0A%0A%20%20%20%20def%20left%28self%2C%20i%3A%20int%29%20-%3E%20int%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%E7%8D%B2%E5%8F%96%E5%B7%A6%E5%AD%90%E7%AF%80%E9%BB%9E%E7%9A%84%E7%B4%A2%E5%BC%95%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%202%20%2A%20i%20%2B%201%0A%0A%20%20%20%20def%20right%28self%2C%20i%3A%20int%29%20-%3E%20int%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%E7%8D%B2%E5%8F%96%E5%8F%B3%E5%AD%90%E7%AF%80%E9%BB%9E%E7%9A%84%E7%B4%A2%E5%BC%95%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%202%20%2A%20i%20%2B%202%0A%0A%20%20%20%20def%20parent%28self%2C%20i%3A%20int%29%20-%3E%20int%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%E7%8D%B2%E5%8F%96%E7%88%B6%E7%AF%80%E9%BB%9E%E7%9A%84%E7%B4%A2%E5%BC%95%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20%28i%20-%201%29%20//%202%20%20%23%20%E5%90%91%E4%B8%8B%E6%95%B4%E9%99%A4%0A%0A%20%20%20%20def%20size%28self%29%20-%3E%20int%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%E7%8D%B2%E5%8F%96%E5%A0%86%E7%A9%8D%E5%A4%A7%E5%B0%8F%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20len%28self.max_heap%29%0A%0A%20%20%20%20def%20is_empty%28self%29%20-%3E%20bool%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%E5%88%A4%E6%96%B7%E5%A0%86%E7%A9%8D%E6%98%AF%E5%90%A6%E7%82%BA%E7%A9%BA%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20self.size%28%29%20%3D%3D%200%0A%0A%20%20%20%20def%20peek%28self%29%20-%3E%20int%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%E8%A8%AA%E5%95%8F%E5%A0%86%E7%A9%8D%E9%A0%82%E5%85%83%E7%B4%A0%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20self.max_heap%5B0%5D%0A%0A%0A%22%22%22Driver%20Code%22%22%22%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20%23%20%E5%88%9D%E5%A7%8B%E5%8C%96%E5%A4%A7%E9%A0%82%E5%A0%86%E7%A9%8D%0A%20%20%20%20%23%20%E8%AB%8B%E6%B3%A8%E6%84%8F%EF%BC%8C%E8%BC%B8%E5%85%A5%E9%99%A3%E5%88%97%E5%B7%B2%E7%B6%93%E6%98%AF%E4%B8%80%E5%80%8B%E5%B7%B2%E7%B6%93%E6%98%AF%E4%B8%80%E5%80%8B%E5%90%88%E6%B3%95%E7%9A%84%E5%A0%86%E7%A9%8D%20%0A%20%20%20%20max_heap%20%3D%20MaxHeap%28%5B9%2C%208%2C%206%2C%206%2C%207%2C%205%2C%202%2C%201%2C%204%2C%203%2C%206%2C%202%5D%29%0A%0A%20%20%20%20%23%20%E7%8D%B2%E5%8F%96%E5%A0%86%E7%A9%8D%E9%A0%82%E5%85%83%E7%B4%A0%0A%20%20%20%20peek%20%3D%20max_heap.peek%28%29%0A%20%20%20%20print%28f%22%5Cn%E5%A0%86%E7%A9%8D%E9%A0%82%E5%85%83%E7%B4%A0%E7%82%BA%20%7Bpeek%7D%22%29&codeDivHeight=472&codeDivWidth=350&cumulative=false&curInstr=7&heapPrimitives=nevernest&origin=opt-frontend.js&py=311&rawInputLstJSON=%5B%5D&textReferences=false"> </iframe></div>
<div style="margin-top: 5px;"><a href="https://pythontutor.com/iframe-embed.html#code=class%20MaxHeap%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%E5%A4%A7%E9%A0%82%E5%A0%86%E7%A9%8D%22%22%22%0A%0A%20%20%20%20def%20__init__%28self%2C%20nums%3A%20list%5Bint%5D%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%E5%BB%BA%E6%A7%8B%E5%AD%90%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E5%B0%87%E4%B8%B2%E5%88%97%E5%85%83%E7%B4%A0%E5%8E%9F%E5%B0%81%E4%B8%8D%E5%8B%95%E6%96%B0%E5%A2%9E%E9%80%B2%E5%A0%86%E7%A9%8D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20self.max_heap%20%3D%20nums%0A%0A%20%20%20%20def%20left%28self%2C%20i%3A%20int%29%20-%3E%20int%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%E7%8D%B2%E5%8F%96%E5%B7%A6%E5%AD%90%E7%AF%80%E9%BB%9E%E7%9A%84%E7%B4%A2%E5%BC%95%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%202%20%2A%20i%20%2B%201%0A%0A%20%20%20%20def%20right%28self%2C%20i%3A%20int%29%20-%3E%20int%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%E7%8D%B2%E5%8F%96%E5%8F%B3%E5%AD%90%E7%AF%80%E9%BB%9E%E7%9A%84%E7%B4%A2%E5%BC%95%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%202%20%2A%20i%20%2B%202%0A%0A%20%20%20%20def%20parent%28self%2C%20i%3A%20int%29%20-%3E%20int%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%E7%8D%B2%E5%8F%96%E7%88%B6%E7%AF%80%E9%BB%9E%E7%9A%84%E7%B4%A2%E5%BC%95%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20%28i%20-%201%29%20//%202%20%20%23%20%E5%90%91%E4%B8%8B%E6%95%B4%E9%99%A4%0A%0A%20%20%20%20def%20size%28self%29%20-%3E%20int%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%E7%8D%B2%E5%8F%96%E5%A0%86%E7%A9%8D%E5%A4%A7%E5%B0%8F%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20len%28self.max_heap%29%0A%0A%20%20%20%20def%20is_empty%28self%29%20-%3E%20bool%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%E5%88%A4%E6%96%B7%E5%A0%86%E7%A9%8D%E6%98%AF%E5%90%A6%E7%82%BA%E7%A9%BA%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20self.size%28%29%20%3D%3D%200%0A%0A%20%20%20%20def%20peek%28self%29%20-%3E%20int%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%E8%A8%AA%E5%95%8F%E5%A0%86%E7%A9%8D%E9%A0%82%E5%85%83%E7%B4%A0%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20self.max_heap%5B0%5D%0A%0A%0A%22%22%22Driver%20Code%22%22%22%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20%23%20%E5%88%9D%E5%A7%8B%E5%8C%96%E5%A4%A7%E9%A0%82%E5%A0%86%E7%A9%8D%0A%20%20%20%20%23%20%E8%AB%8B%E6%B3%A8%E6%84%8F%EF%BC%8C%E8%BC%B8%E5%85%A5%E9%99%A3%E5%88%97%E5%B7%B2%E7%B6%93%E6%98%AF%E4%B8%80%E5%80%8B%E5%B7%B2%E7%B6%93%E6%98%AF%E4%B8%80%E5%80%8B%E5%90%88%E6%B3%95%E7%9A%84%E5%A0%86%E7%A9%8D%20%0A%20%20%20%20max_heap%20%3D%20MaxHeap%28%5B9%2C%208%2C%206%2C%206%2C%207%2C%205%2C%202%2C%201%2C%204%2C%203%2C%206%2C%202%5D%29%0A%0A%20%20%20%20%23%20%E7%8D%B2%E5%8F%96%E5%A0%86%E7%A9%8D%E9%A0%82%E5%85%83%E7%B4%A0%0A%20%20%20%20peek%20%3D%20max_heap.peek%28%29%0A%20%20%20%20print%28f%22%5Cn%E5%A0%86%E7%A9%8D%E9%A0%82%E5%85%83%E7%B4%A0%E7%82%BA%20%7Bpeek%7D%22%29&codeDivHeight=800&codeDivWidth=600&cumulative=false&curInstr=7&heapPrimitives=nevernest&origin=opt-frontend.js&py=311&rawInputLstJSON=%5B%5D&textReferences=false" target="_blank" rel="noopener noreferrer">全螢幕觀看 ></a></div>

3. 元素入堆積

給定元素 val ，我們首先將其新增到堆積底。新增之後，由於 val 可能大於堆積中其他元素，堆積的成立條件可能已被破壞，因此需要修復從插入節點到根節點的路徑上的各個節點，這個操作被稱為堆積化（heapify）。

考慮從入堆積節點開始，從底至頂執行堆積化。如圖 8-3 所示，我們比較插入節點與其父節點的值，如果插入節點更大，則將它們交換。然後繼續執行此操作，從底至頂修復堆積中的各個節點，直至越過根節點或遇到無須交換的節點時結束。

=== "<1>" { class="animation-figure" }

=== "<2>" { class="animation-figure" }

=== "<3>" { class="animation-figure" }

=== "<4>" { class="animation-figure" }

=== "<5>" { class="animation-figure" }

=== "<6>" { class="animation-figure" }

=== "<7>" { class="animation-figure" }

=== "<8>" { class="animation-figure" }

=== "<9>" { class="animation-figure" }

圖 8-3 元素入堆積步驟

設節點總數為 n ，則樹的高度為 O(\log n) 。由此可知，堆積化操作的迴圈輪數最多為 O(\log n) ，元素入堆積操作的時間複雜度為 O(\log n) 。程式碼如下所示：

=== "Python"

```python title="my_heap.py"
def push(self, val: int):
    """元素入堆積"""
    # 新增節點
    self.max_heap.append(val)
    # 從底至頂堆積化
    self.sift_up(self.size() - 1)

def sift_up(self, i: int):
    """從節點 i 開始，從底至頂堆積化"""
    while True:
        # 獲取節點 i 的父節點
        p = self.parent(i)
        # 當“越過根節點”或“節點無須修復”時，結束堆積化
        if p < 0 or self.max_heap[i] <= self.max_heap[p]:
            break
        # 交換兩節點
        self.swap(i, p)
        # 迴圈向上堆積化
        i = p
```

=== "C++"

```cpp title="my_heap.cpp"
/* 元素入堆積 */
void push(int val) {
    // 新增節點
    maxHeap.push_back(val);
    // 從底至頂堆積化
    siftUp(size() - 1);
}

/* 從節點 i 開始，從底至頂堆積化 */
void siftUp(int i) {
    while (true) {
        // 獲取節點 i 的父節點
        int p = parent(i);
        // 當“越過根節點”或“節點無須修復”時，結束堆積化
        if (p < 0 || maxHeap[i] <= maxHeap[p])
            break;
        // 交換兩節點
        swap(maxHeap[i], maxHeap[p]);
        // 迴圈向上堆積化
        i = p;
    }
}
```

=== "Java"

```java title="my_heap.java"
/* 元素入堆積 */
void push(int val) {
    // 新增節點
    maxHeap.add(val);
    // 從底至頂堆積化
    siftUp(size() - 1);
}

/* 從節點 i 開始，從底至頂堆積化 */
void siftUp(int i) {
    while (true) {
        // 獲取節點 i 的父節點
        int p = parent(i);
        // 當“越過根節點”或“節點無須修復”時，結束堆積化
        if (p < 0 || maxHeap.get(i) <= maxHeap.get(p))
            break;
        // 交換兩節點
        swap(i, p);
        // 迴圈向上堆積化
        i = p;
    }
}
```

=== "C#"

```csharp title="my_heap.cs"
/* 元素入堆積 */
void Push(int val) {
    // 新增節點
    maxHeap.Add(val);
    // 從底至頂堆積化
    SiftUp(Size() - 1);
}

/* 從節點 i 開始，從底至頂堆積化 */
void SiftUp(int i) {
    while (true) {
        // 獲取節點 i 的父節點
        int p = Parent(i);
        // 若“越過根節點”或“節點無須修復”，則結束堆積化
        if (p < 0 || maxHeap[i] <= maxHeap[p])
            break;
        // 交換兩節點
        Swap(i, p);
        // 迴圈向上堆積化
        i = p;
    }
}
```

=== "Go"

```go title="my_heap.go"
/* 元素入堆積 */
func (h *maxHeap) push(val any) {
    // 新增節點
    h.data = append(h.data, val)
    // 從底至頂堆積化
    h.siftUp(len(h.data) - 1)
}

/* 從節點 i 開始，從底至頂堆積化 */
func (h *maxHeap) siftUp(i int) {
    for true {
        // 獲取節點 i 的父節點
        p := h.parent(i)
        // 當“越過根節點”或“節點無須修復”時，結束堆積化
        if p < 0 || h.data[i].(int) <= h.data[p].(int) {
            break
        }
        // 交換兩節點
        h.swap(i, p)
        // 迴圈向上堆積化
        i = p
    }
}
```

=== "Swift"

```swift title="my_heap.swift"
/* 元素入堆積 */
func push(val: Int) {
    // 新增節點
    maxHeap.append(val)
    // 從底至頂堆積化
    siftUp(i: size() - 1)
}

/* 從節點 i 開始，從底至頂堆積化 */
func siftUp(i: Int) {
    var i = i
    while true {
        // 獲取節點 i 的父節點
        let p = parent(i: i)
        // 當“越過根節點”或“節點無須修復”時，結束堆積化
        if p < 0 || maxHeap[i] <= maxHeap[p] {
            break
        }
        // 交換兩節點
        swap(i: i, j: p)
        // 迴圈向上堆積化
        i = p
    }
}
```

=== "JS"

```javascript title="my_heap.js"
/* 元素入堆積 */
push(val) {
    // 新增節點
    this.#maxHeap.push(val);
    // 從底至頂堆積化
    this.#siftUp(this.size() - 1);
}

/* 從節點 i 開始，從底至頂堆積化 */
#siftUp(i) {
    while (true) {
        // 獲取節點 i 的父節點
        const p = this.#parent(i);
        // 當“越過根節點”或“節點無須修復”時，結束堆積化
        if (p < 0 || this.#maxHeap[i] <= this.#maxHeap[p]) break;
        // 交換兩節點
        this.#swap(i, p);
        // 迴圈向上堆積化
        i = p;
    }
}
```

=== "TS"

```typescript title="my_heap.ts"
/* 元素入堆積 */
push(val: number): void {
    // 新增節點
    this.maxHeap.push(val);
    // 從底至頂堆積化
    this.siftUp(this.size() - 1);
}

/* 從節點 i 開始，從底至頂堆積化 */
siftUp(i: number): void {
    while (true) {
        // 獲取節點 i 的父節點
        const p = this.parent(i);
        // 當“越過根節點”或“節點無須修復”時，結束堆積化
        if (p < 0 || this.maxHeap[i] <= this.maxHeap[p]) break;
        // 交換兩節點
        this.swap(i, p);
        // 迴圈向上堆積化
        i = p;
    }
}
```

=== "Dart"

```dart title="my_heap.dart"
/* 元素入堆積 */
void push(int val) {
  // 新增節點
  _maxHeap.add(val);
  // 從底至頂堆積化
  siftUp(size() - 1);
}

/* 從節點 i 開始，從底至頂堆積化 */
void siftUp(int i) {
  while (true) {
    // 獲取節點 i 的父節點
    int p = _parent(i);
    // 當“越過根節點”或“節點無須修復”時，結束堆積化
    if (p < 0 || _maxHeap[i] <= _maxHeap[p]) {
      break;
    }
    // 交換兩節點
    _swap(i, p);
    // 迴圈向上堆積化
    i = p;
  }
}
```

=== "Rust"

```rust title="my_heap.rs"
/* 元素入堆積 */
fn push(&mut self, val: i32) {
    // 新增節點
    self.max_heap.push(val);
    // 從底至頂堆積化
    self.sift_up(self.size() - 1);
}

/* 從節點 i 開始，從底至頂堆積化 */
fn sift_up(&mut self, mut i: usize) {
    loop {
        // 節點 i 已經是堆積頂節點了，結束堆積化
        if i == 0 {
            break;
        }
        // 獲取節點 i 的父節點
        let p = Self::parent(i);
        // 當“節點無須修復”時，結束堆積化
        if self.max_heap[i] <= self.max_heap[p] {
            break;
        }
        // 交換兩節點
        self.swap(i, p);
        // 迴圈向上堆積化
        i = p;
    }
}
```

=== "C"

```c title="my_heap.c"
/* 元素入堆積 */
void push(MaxHeap *maxHeap, int val) {
    // 預設情況下，不應該新增這麼多節點
    if (maxHeap->size == MAX_SIZE) {
        printf("heap is full!");
        return;
    }
    // 新增節點
    maxHeap->data[maxHeap->size] = val;
    maxHeap->size++;

    // 從底至頂堆積化
    siftUp(maxHeap, maxHeap->size - 1);
}

/* 從節點 i 開始，從底至頂堆積化 */
void siftUp(MaxHeap *maxHeap, int i) {
    while (true) {
        // 獲取節點 i 的父節點
        int p = parent(maxHeap, i);
        // 當“越過根節點”或“節點無須修復”時，結束堆積化
        if (p < 0 || maxHeap->data[i] <= maxHeap->data[p]) {
            break;
        }
        // 交換兩節點
        swap(maxHeap, i, p);
        // 迴圈向上堆積化
        i = p;
    }
}
```

=== "Kotlin"

```kotlin title="my_heap.kt"
/* 元素入堆積 */
fun push(_val: Int) {
    // 新增節點
    maxHeap.add(_val)
    // 從底至頂堆積化
    siftUp(size() - 1)
}

/* 從節點 i 開始，從底至頂堆積化 */
fun siftUp(it: Int) {
    // Kotlin的函式參數不可變，因此建立臨時變數
    var i = it
    while (true) {
        // 獲取節點 i 的父節點
        val p = parent(i)
        // 當“越過根節點”或“節點無須修復”時，結束堆積化
        if (p < 0 || maxHeap[i] <= maxHeap[p]) break
        // 交換兩節點
        swap(i, p)
        // 迴圈向上堆積化
        i = p
    }
}
```

=== "Ruby"

```ruby title="my_heap.rb"
### 元素入堆積 ###
def push(val)
  # 新增節點
  @max_heap << val
  # 從底至頂堆積化
  sift_up(size - 1)
end

### 從節點 i 開始，從底至頂堆積化 ###
def sift_up(i)
  loop do
    # 獲取節點 i 的父節點
    p = parent(i)
    # 當“越過根節點”或“節點無須修復”時，結束堆積化
    break if p < 0 || @max_heap[i] <= @max_heap[p]
    # 交換兩節點
    swap(i, p)
    # 迴圈向上堆積化
    i = p
  end
end
```

=== "Zig"

```zig title="my_heap.zig"
// 元素入堆積
fn push(self: *Self, val: T) !void {
    // 新增節點
    try self.max_heap.?.append(val);
    // 從底至頂堆積化
    try self.siftUp(self.size() - 1);
}  

// 從節點 i 開始，從底至頂堆積化
fn siftUp(self: *Self, i_: usize) !void {
    var i = i_;
    while (true) {
        // 獲取節點 i 的父節點
        var p = parent(i);
        // 當“越過根節點”或“節點無須修復”時，結束堆積化
        if (p < 0 or self.max_heap.?.items[i] <= self.max_heap.?.items[p]) break;
        // 交換兩節點
        try self.swap(i, p);
        // 迴圈向上堆積化
        i = p;
    }
}
```

??? pythontutor "視覺化執行"

<div style="height: 549px; width: 100%;"><iframe class="pythontutor-iframe" src="https://pythontutor.com/iframe-embed.html#code=class%20MaxHeap%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%E5%A4%A7%E9%A0%82%E5%A0%86%E7%A9%8D%22%22%22%0A%0A%20%20%20%20def%20__init__%28self%2C%20nums%3A%20list%5Bint%5D%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%E5%BB%BA%E6%A7%8B%E5%AD%90%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E5%B0%87%E4%B8%B2%E5%88%97%E5%85%83%E7%B4%A0%E5%8E%9F%E5%B0%81%E4%B8%8D%E5%8B%95%E6%96%B0%E5%A2%9E%E9%80%B2%E5%A0%86%E7%A9%8D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20self.max_heap%20%3D%20nums%0A%0A%20%20%20%20def%20left%28self%2C%20i%3A%20int%29%20-%3E%20int%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%E7%8D%B2%E5%8F%96%E5%B7%A6%E5%AD%90%E7%AF%80%E9%BB%9E%E7%9A%84%E7%B4%A2%E5%BC%95%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%202%20%2A%20i%20%2B%201%0A%0A%20%20%20%20def%20right%28self%2C%20i%3A%20int%29%20-%3E%20int%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%E7%8D%B2%E5%8F%96%E5%8F%B3%E5%AD%90%E7%AF%80%E9%BB%9E%E7%9A%84%E7%B4%A2%E5%BC%95%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%202%20%2A%20i%20%2B%202%0A%0A%20%20%20%20def%20parent%28self%2C%20i%3A%20int%29%20-%3E%20int%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%E7%8D%B2%E5%8F%96%E7%88%B6%E7%AF%80%E9%BB%9E%E7%9A%84%E7%B4%A2%E5%BC%95%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20%28i%20-%201%29%20//%202%20%20%23%20%E5%90%91%E4%B8%8B%E6%95%B4%E9%99%A4%0A%0A%20%20%20%20def%20swap%28self%2C%20i%3A%20int%2C%20j%3A%20int%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%E4%BA%A4%E6%8F%9B%E5%85%83%E7%B4%A0%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20self.max_heap%5Bi%5D%2C%20self.max_heap%5Bj%5D%20%3D%20self.max_heap%5Bj%5D%2C%20self.max_heap%5Bi%5D%0A%0A%20%20%20%20def%20size%28self%29%20-%3E%20int%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%E7%8D%B2%E5%8F%96%E5%A0%86%E7%A9%8D%E5%A4%A7%E5%B0%8F%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20len%28self.max_heap%29%0A%0A%20%20%20%20def%20is_empty%28self%29%20-%3E%20bool%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%E5%88%A4%E6%96%B7%E5%A0%86%E7%A9%8D%E6%98%AF%E5%90%A6%E7%82%BA%E7%A9%BA%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20self.size%28%29%20%3D%3D%200%0A%0A%20%20%20%20def%20push%28self%2C%20val%3A%20int%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%E5%85%83%E7%B4%A0%E5%85%A5%E5%A0%86%E7%A9%8D%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E6%96%B0%E5%A2%9E%E7%AF%80%E9%BB%9E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20self.max_heap.append%28val%29%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E5%BE%9E%E5%BA%95%E8%87%B3%E9%A0%82%E5%A0%86%E7%A9%8D%E5%8C%96%0A%20%20%20%20%20%20%20%20self.sift_up%28self.size%28%29%20-%201%29%0A%0A%20%20%20%20def%20sift_up%28self%2C%20i%3A%20int%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%E5%BE%9E%E7%AF%80%E9%BB%9E%20i%20%E9%96%8B%E5%A7%8B%EF%BC%8C%E5%BE%9E%E5%BA%95%E8%87%B3%E9%A0%82%E5%A0%86%E7%A9%8D%E5%8C%96%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20while%20True%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E7%8D%B2%E5%8F%96%E7%AF%80%E9%BB%9E%20i%20%E7%9A%84%E7%88%B6%E7%AF%80%E9%BB%9E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20p%20%3D%20self.parent%28i%29%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E7%95%B6%E2%80%9C%E8%B6%8A%E9%81%8E%E6%A0%B9%E7%AF%80%E9%BB%9E%E2%80%9D%E6%88%96%E2%80%9C%E7%AF%80%E9%BB%9E%E7%84%A1%E9%A0%88%E4%BF%AE%E5%BE%A9%E2%80%9D%E6%99%82%EF%BC%8C%E7%B5%90%E6%9D%9F%E5%A0%86%E7%A9%8D%E5%8C%96%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20if%20p%20%3C%200%20or%20self.max_heap%5Bi%5D%20%3C%3D%20self.max_heap%5Bp%5D%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20break%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E4%BA%A4%E6%8F%9B%E5%85%A9%E7%AF%80%E9%BB%9E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20self.swap%28i%2C%20p%29%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E8%BF%B4%E5%9C%88%E5%90%91%E4%B8%8A%E5%A0%86%E7%A9%8D%E5%8C%96%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20i%20%3D%20p%0A%0A%0A%22%22%22Driver%20Code%22%22%22%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20%23%20%E5%88%9D%E5%A7%8B%E5%8C%96%E5%A4%A7%E9%A0%82%E5%A0%86%E7%A9%8D%0A%20%20%20%20%23%20%E8%AB%8B%E6%B3%A8%E6%84%8F%EF%BC%8C%E8%BC%B8%E5%85%A5%E9%99%A3%E5%88%97%E5%B7%B2%E7%B6%93%E6%98%AF%E4%B8%80%E5%80%8B%E5%B7%B2%E7%B6%93%E6%98%AF%E4%B8%80%E5%80%8B%E5%90%88%E6%B3%95%E7%9A%84%E5%A0%86%E7%A9%8D%0A%20%20%20%20max_heap%20%3D%20MaxHeap%28%5B9%2C%208%2C%206%2C%206%2C%207%2C%205%2C%202%2C%201%2C%204%2C%203%2C%206%2C%202%5D%29%0A%0A%20%20%20%20%23%20%E5%85%83%E7%B4%A0%E5%85%A5%E5%A0%86%E7%A9%8D%0A%20%20%20%20val%20%3D%207%0A%20%20%20%20max_heap.push%28val%29&codeDivHeight=472&codeDivWidth=350&cumulative=false&curInstr=8&heapPrimitives=nevernest&origin=opt-frontend.js&py=311&rawInputLstJSON=%5B%5D&textReferences=false"> </iframe></div>
<div style="margin-top: 5px;"><a href="https://pythontutor.com/iframe-embed.html#code=class%20MaxHeap%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%E5%A4%A7%E9%A0%82%E5%A0%86%E7%A9%8D%22%22%22%0A%0A%20%20%20%20def%20__init__%28self%2C%20nums%3A%20list%5Bint%5D%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%E5%BB%BA%E6%A7%8B%E5%AD%90%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E5%B0%87%E4%B8%B2%E5%88%97%E5%85%83%E7%B4%A0%E5%8E%9F%E5%B0%81%E4%B8%8D%E5%8B%95%E6%96%B0%E5%A2%9E%E9%80%B2%E5%A0%86%E7%A9%8D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20self.max_heap%20%3D%20nums%0A%0A%20%20%20%20def%20left%28self%2C%20i%3A%20int%29%20-%3E%20int%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%E7%8D%B2%E5%8F%96%E5%B7%A6%E5%AD%90%E7%AF%80%E9%BB%9E%E7%9A%84%E7%B4%A2%E5%BC%95%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%202%20%2A%20i%20%2B%201%0A%0A%20%20%20%20def%20right%28self%2C%20i%3A%20int%29%20-%3E%20int%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%E7%8D%B2%E5%8F%96%E5%8F%B3%E5%AD%90%E7%AF%80%E9%BB%9E%E7%9A%84%E7%B4%A2%E5%BC%95%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%202%20%2A%20i%20%2B%202%0A%0A%20%20%20%20def%20parent%28self%2C%20i%3A%20int%29%20-%3E%20int%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%E7%8D%B2%E5%8F%96%E7%88%B6%E7%AF%80%E9%BB%9E%E7%9A%84%E7%B4%A2%E5%BC%95%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20%28i%20-%201%29%20//%202%20%20%23%20%E5%90%91%E4%B8%8B%E6%95%B4%E9%99%A4%0A%0A%20%20%20%20def%20swap%28self%2C%20i%3A%20int%2C%20j%3A%20int%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%E4%BA%A4%E6%8F%9B%E5%85%83%E7%B4%A0%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20self.max_heap%5Bi%5D%2C%20self.max_heap%5Bj%5D%20%3D%20self.max_heap%5Bj%5D%2C%20self.max_heap%5Bi%5D%0A%0A%20%20%20%20def%20size%28self%29%20-%3E%20int%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%E7%8D%B2%E5%8F%96%E5%A0%86%E7%A9%8D%E5%A4%A7%E5%B0%8F%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20len%28self.max_heap%29%0A%0A%20%20%20%20def%20is_empty%28self%29%20-%3E%20bool%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%E5%88%A4%E6%96%B7%E5%A0%86%E7%A9%8D%E6%98%AF%E5%90%A6%E7%82%BA%E7%A9%BA%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20self.size%28%29%20%3D%3D%200%0A%0A%20%20%20%20def%20push%28self%2C%20val%3A%20int%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%E5%85%83%E7%B4%A0%E5%85%A5%E5%A0%86%E7%A9%8D%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E6%96%B0%E5%A2%9E%E7%AF%80%E9%BB%9E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20self.max_heap.append%28val%29%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E5%BE%9E%E5%BA%95%E8%87%B3%E9%A0%82%E5%A0%86%E7%A9%8D%E5%8C%96%0A%20%20%20%20%20%20%20%20self.sift_up%28self.size%28%29%20-%201%29%0A%0A%20%20%20%20def%20sift_up%28self%2C%20i%3A%20int%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%E5%BE%9E%E7%AF%80%E9%BB%9E%20i%20%E9%96%8B%E5%A7%8B%EF%BC%8C%E5%BE%9E%E5%BA%95%E8%87%B3%E9%A0%82%E5%A0%86%E7%A9%8D%E5%8C%96%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20while%20True%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E7%8D%B2%E5%8F%96%E7%AF%80%E9%BB%9E%20i%20%E7%9A%84%E7%88%B6%E7%AF%80%E9%BB%9E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20p%20%3D%20self.parent%28i%29%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E7%95%B6%E2%80%9C%E8%B6%8A%E9%81%8E%E6%A0%B9%E7%AF%80%E9%BB%9E%E2%80%9D%E6%88%96%E2%80%9C%E7%AF%80%E9%BB%9E%E7%84%A1%E9%A0%88%E4%BF%AE%E5%BE%A9%E2%80%9D%E6%99%82%EF%BC%8C%E7%B5%90%E6%9D%9F%E5%A0%86%E7%A9%8D%E5%8C%96%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20if%20p%20%3C%200%20or%20self.max_heap%5Bi%5D%20%3C%3D%20self.max_heap%5Bp%5D%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20break%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E4%BA%A4%E6%8F%9B%E5%85%A9%E7%AF%80%E9%BB%9E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20self.swap%28i%2C%20p%29%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E8%BF%B4%E5%9C%88%E5%90%91%E4%B8%8A%E5%A0%86%E7%A9%8D%E5%8C%96%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20i%20%3D%20p%0A%0A%0A%22%22%22Driver%20Code%22%22%22%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20%23%20%E5%88%9D%E5%A7%8B%E5%8C%96%E5%A4%A7%E9%A0%82%E5%A0%86%E7%A9%8D%0A%20%20%20%20%23%20%E8%AB%8B%E6%B3%A8%E6%84%8F%EF%BC%8C%E8%BC%B8%E5%85%A5%E9%99%A3%E5%88%97%E5%B7%B2%E7%B6%93%E6%98%AF%E4%B8%80%E5%80%8B%E5%B7%B2%E7%B6%93%E6%98%AF%E4%B8%80%E5%80%8B%E5%90%88%E6%B3%95%E7%9A%84%E5%A0%86%E7%A9%8D%0A%20%20%20%20max_heap%20%3D%20MaxHeap%28%5B9%2C%208%2C%206%2C%206%2C%207%2C%205%2C%202%2C%201%2C%204%2C%203%2C%206%2C%202%5D%29%0A%0A%20%20%20%20%23%20%E5%85%83%E7%B4%A0%E5%85%A5%E5%A0%86%E7%A9%8D%0A%20%20%20%20val%20%3D%207%0A%20%20%20%20max_heap.push%28val%29&codeDivHeight=800&codeDivWidth=600&cumulative=false&curInstr=8&heapPrimitives=nevernest&origin=opt-frontend.js&py=311&rawInputLstJSON=%5B%5D&textReferences=false" target="_blank" rel="noopener noreferrer">全螢幕觀看 ></a></div>

4. 堆積頂元素出堆積

堆積頂元素是二元樹的根節點，即串列首元素。如果我們直接從串列中刪除首元素，那麼二元樹中所有節點的索引都會發生變化，這將使得後續使用堆積化進行修復變得困難。為了儘量減少元素索引的變動，我們採用以下操作步驟。

交換堆積頂元素與堆積底元素（交換根節點與最右葉節點）。
交換完成後，將堆積底從串列中刪除（注意，由於已經交換，因此實際上刪除的是原來的堆積頂元素）。
從根節點開始，從頂至底執行堆積化。

如圖 8-4 所示，“從頂至底堆積化”的操作方向與“從底至頂堆積化”相反，我們將根節點的值與其兩個子節點的值進行比較，將最大的子節點與根節點交換。然後迴圈執行此操作，直到越過葉節點或遇到無須交換的節點時結束。

=== "<1>" { class="animation-figure" }

=== "<2>" { class="animation-figure" }

=== "<3>" { class="animation-figure" }

=== "<4>" { class="animation-figure" }

=== "<5>" { class="animation-figure" }

=== "<6>" { class="animation-figure" }

=== "<7>" { class="animation-figure" }

=== "<8>" { class="animation-figure" }

=== "<9>" { class="animation-figure" }

=== "<10>" { class="animation-figure" }

圖 8-4 堆積頂元素出堆積步驟

與元素入堆積操作相似，堆積頂元素出堆積操作的時間複雜度也為 O(\log n) 。程式碼如下所示：

=== "Python"

```python title="my_heap.py"
def pop(self) -> int:
    """元素出堆積"""
    # 判空處理
    if self.is_empty():
        raise IndexError("堆積為空")
    # 交換根節點與最右葉節點（交換首元素與尾元素）
    self.swap(0, self.size() - 1)
    # 刪除節點
    val = self.max_heap.pop()
    # 從頂至底堆積化
    self.sift_down(0)
    # 返回堆積頂元素
    return val

def sift_down(self, i: int):
    """從節點 i 開始，從頂至底堆積化"""
    while True:
        # 判斷節點 i, l, r 中值最大的節點，記為 ma
        l, r, ma = self.left(i), self.right(i), i
        if l < self.size() and self.max_heap[l] > self.max_heap[ma]:
            ma = l
        if r < self.size() and self.max_heap[r] > self.max_heap[ma]:
            ma = r
        # 若節點 i 最大或索引 l, r 越界，則無須繼續堆積化，跳出
        if ma == i:
            break
        # 交換兩節點
        self.swap(i, ma)
        # 迴圈向下堆積化
        i = ma
```

=== "C++"

```cpp title="my_heap.cpp"
/* 元素出堆積 */
void pop() {
    // 判空處理
    if (isEmpty()) {
        throw out_of_range("堆積為空");
    }
    // 交換根節點與最右葉節點（交換首元素與尾元素）
    swap(maxHeap[0], maxHeap[size() - 1]);
    // 刪除節點
    maxHeap.pop_back();
    // 從頂至底堆積化
    siftDown(0);
}

/* 從節點 i 開始，從頂至底堆積化 */
void siftDown(int i) {
    while (true) {
        // 判斷節點 i, l, r 中值最大的節點，記為 ma
        int l = left(i), r = right(i), ma = i;
        if (l < size() && maxHeap[l] > maxHeap[ma])
            ma = l;
        if (r < size() && maxHeap[r] > maxHeap[ma])
            ma = r;
        // 若節點 i 最大或索引 l, r 越界，則無須繼續堆積化，跳出
        if (ma == i)
            break;
        swap(maxHeap[i], maxHeap[ma]);
        // 迴圈向下堆積化
        i = ma;
    }
}
```

=== "Java"

```java title="my_heap.java"
/* 元素出堆積 */
int pop() {
    // 判空處理
    if (isEmpty())
        throw new IndexOutOfBoundsException();
    // 交換根節點與最右葉節點（交換首元素與尾元素）
    swap(0, size() - 1);
    // 刪除節點
    int val = maxHeap.remove(size() - 1);
    // 從頂至底堆積化
    siftDown(0);
    // 返回堆積頂元素
    return val;
}

/* 從節點 i 開始，從頂至底堆積化 */
void siftDown(int i) {
    while (true) {
        // 判斷節點 i, l, r 中值最大的節點，記為 ma
        int l = left(i), r = right(i), ma = i;
        if (l < size() && maxHeap.get(l) > maxHeap.get(ma))
            ma = l;
        if (r < size() && maxHeap.get(r) > maxHeap.get(ma))
            ma = r;
        // 若節點 i 最大或索引 l, r 越界，則無須繼續堆積化，跳出
        if (ma == i)
            break;
        // 交換兩節點
        swap(i, ma);
        // 迴圈向下堆積化
        i = ma;
    }
}
```

=== "C#"

```csharp title="my_heap.cs"
/* 元素出堆積 */
int Pop() {
    // 判空處理
    if (IsEmpty())
        throw new IndexOutOfRangeException();
    // 交換根節點與最右葉節點（交換首元素與尾元素）
    Swap(0, Size() - 1);
    // 刪除節點
    int val = maxHeap.Last();
    maxHeap.RemoveAt(Size() - 1);
    // 從頂至底堆積化
    SiftDown(0);
    // 返回堆積頂元素
    return val;
}

/* 從節點 i 開始，從頂至底堆積化 */
void SiftDown(int i) {
    while (true) {
        // 判斷節點 i, l, r 中值最大的節點，記為 ma
        int l = Left(i), r = Right(i), ma = i;
        if (l < Size() && maxHeap[l] > maxHeap[ma])
            ma = l;
        if (r < Size() && maxHeap[r] > maxHeap[ma])
            ma = r;
        // 若“節點 i 最大”或“越過葉節點”，則結束堆積化
        if (ma == i) break;
        // 交換兩節點
        Swap(i, ma);
        // 迴圈向下堆積化
        i = ma;
    }
}
```

=== "Go"

```go title="my_heap.go"
/* 元素出堆積 */
func (h *maxHeap) pop() any {
    // 判空處理
    if h.isEmpty() {
        fmt.Println("error")
        return nil
    }
    // 交換根節點與最右葉節點（交換首元素與尾元素）
    h.swap(0, h.size()-1)
    // 刪除節點
    val := h.data[len(h.data)-1]
    h.data = h.data[:len(h.data)-1]
    // 從頂至底堆積化
    h.siftDown(0)

    // 返回堆積頂元素
    return val
}

/* 從節點 i 開始，從頂至底堆積化 */
func (h *maxHeap) siftDown(i int) {
    for true {
        // 判斷節點 i, l, r 中值最大的節點，記為 max
        l, r, max := h.left(i), h.right(i), i
        if l < h.size() && h.data[l].(int) > h.data[max].(int) {
            max = l
        }
        if r < h.size() && h.data[r].(int) > h.data[max].(int) {
            max = r
        }
        // 若節點 i 最大或索引 l, r 越界，則無須繼續堆積化，跳出
        if max == i {
            break
        }
        // 交換兩節點
        h.swap(i, max)
        // 迴圈向下堆積化
        i = max
    }
}
```

=== "Swift"

```swift title="my_heap.swift"
/* 元素出堆積 */
func pop() -> Int {
    // 判空處理
    if isEmpty() {
        fatalError("堆積為空")
    }
    // 交換根節點與最右葉節點（交換首元素與尾元素）
    swap(i: 0, j: size() - 1)
    // 刪除節點
    let val = maxHeap.remove(at: size() - 1)
    // 從頂至底堆積化
    siftDown(i: 0)
    // 返回堆積頂元素
    return val
}

/* 從節點 i 開始，從頂至底堆積化 */
func siftDown(i: Int) {
    var i = i
    while true {
        // 判斷節點 i, l, r 中值最大的節點，記為 ma
        let l = left(i: i)
        let r = right(i: i)
        var ma = i
        if l < size(), maxHeap[l] > maxHeap[ma] {
            ma = l
        }
        if r < size(), maxHeap[r] > maxHeap[ma] {
            ma = r
        }
        // 若節點 i 最大或索引 l, r 越界，則無須繼續堆積化，跳出
        if ma == i {
            break
        }
        // 交換兩節點
        swap(i: i, j: ma)
        // 迴圈向下堆積化
        i = ma
    }
}
```

=== "JS"

```javascript title="my_heap.js"
/* 元素出堆積 */
pop() {
    // 判空處理
    if (this.isEmpty()) throw new Error('堆積為空');
    // 交換根節點與最右葉節點（交換首元素與尾元素）
    this.#swap(0, this.size() - 1);
    // 刪除節點
    const val = this.#maxHeap.pop();
    // 從頂至底堆積化
    this.#siftDown(0);
    // 返回堆積頂元素
    return val;
}

/* 從節點 i 開始，從頂至底堆積化 */
#siftDown(i) {
    while (true) {
        // 判斷節點 i, l, r 中值最大的節點，記為 ma
        const l = this.#left(i),
            r = this.#right(i);
        let ma = i;
        if (l < this.size() && this.#maxHeap[l] > this.#maxHeap[ma]) ma = l;
        if (r < this.size() && this.#maxHeap[r] > this.#maxHeap[ma]) ma = r;
        // 若節點 i 最大或索引 l, r 越界，則無須繼續堆積化，跳出
        if (ma === i) break;
        // 交換兩節點
        this.#swap(i, ma);
        // 迴圈向下堆積化
        i = ma;
    }
}
```

=== "TS"

```typescript title="my_heap.ts"
/* 元素出堆積 */
pop(): number {
    // 判空處理
    if (this.isEmpty()) throw new RangeError('Heap is empty.');
    // 交換根節點與最右葉節點（交換首元素與尾元素）
    this.swap(0, this.size() - 1);
    // 刪除節點
    const val = this.maxHeap.pop();
    // 從頂至底堆積化
    this.siftDown(0);
    // 返回堆積頂元素
    return val;
}

/* 從節點 i 開始，從頂至底堆積化 */
siftDown(i: number): void {
    while (true) {
        // 判斷節點 i, l, r 中值最大的節點，記為 ma
        const l = this.left(i),
            r = this.right(i);
        let ma = i;
        if (l < this.size() && this.maxHeap[l] > this.maxHeap[ma]) ma = l;
        if (r < this.size() && this.maxHeap[r] > this.maxHeap[ma]) ma = r;
        // 若節點 i 最大或索引 l, r 越界，則無須繼續堆積化，跳出
        if (ma === i) break;
        // 交換兩節點
        this.swap(i, ma);
        // 迴圈向下堆積化
        i = ma;
    }
}
```

=== "Dart"

```dart title="my_heap.dart"
/* 元素出堆積 */
int pop() {
  // 判空處理
  if (isEmpty()) throw Exception('堆積為空');
  // 交換根節點與最右葉節點（交換首元素與尾元素）
  _swap(0, size() - 1);
  // 刪除節點
  int val = _maxHeap.removeLast();
  // 從頂至底堆積化
  siftDown(0);
  // 返回堆積頂元素
  return val;
}

/* 從節點 i 開始，從頂至底堆積化 */
void siftDown(int i) {
  while (true) {
    // 判斷節點 i, l, r 中值最大的節點，記為 ma
    int l = _left(i);
    int r = _right(i);
    int ma = i;
    if (l < size() && _maxHeap[l] > _maxHeap[ma]) ma = l;
    if (r < size() && _maxHeap[r] > _maxHeap[ma]) ma = r;
    // 若節點 i 最大或索引 l, r 越界，則無須繼續堆積化，跳出
    if (ma == i) break;
    // 交換兩節點
    _swap(i, ma);
    // 迴圈向下堆積化
    i = ma;
  }
}
```

=== "Rust"

```rust title="my_heap.rs"
/* 元素出堆積 */
fn pop(&mut self) -> i32 {
    // 判空處理
    if self.is_empty() {
        panic!("index out of bounds");
    }
    // 交換根節點與最右葉節點（交換首元素與尾元素）
    self.swap(0, self.size() - 1);
    // 刪除節點
    let val = self.max_heap.pop().unwrap();
    // 從頂至底堆積化
    self.sift_down(0);
    // 返回堆積頂元素
    val
}

/* 從節點 i 開始，從頂至底堆積化 */
fn sift_down(&mut self, mut i: usize) {
    loop {
        // 判斷節點 i, l, r 中值最大的節點，記為 ma
        let (l, r, mut ma) = (Self::left(i), Self::right(i), i);
        if l < self.size() && self.max_heap[l] > self.max_heap[ma] {
            ma = l;
        }
        if r < self.size() && self.max_heap[r] > self.max_heap[ma] {
            ma = r;
        }
        // 若節點 i 最大或索引 l, r 越界，則無須繼續堆積化，跳出
        if ma == i {
            break;
        }
        // 交換兩節點
        self.swap(i, ma);
        // 迴圈向下堆積化
        i = ma;
    }
}
```

=== "C"

```c title="my_heap.c"
/* 元素出堆積 */
int pop(MaxHeap *maxHeap) {
    // 判空處理
    if (isEmpty(maxHeap)) {
        printf("heap is empty!");
        return INT_MAX;
    }
    // 交換根節點與最右葉節點（交換首元素與尾元素）
    swap(maxHeap, 0, size(maxHeap) - 1);
    // 刪除節點
    int val = maxHeap->data[maxHeap->size - 1];
    maxHeap->size--;
    // 從頂至底堆積化
    siftDown(maxHeap, 0);

    // 返回堆積頂元素
    return val;
}

/* 從節點 i 開始，從頂至底堆積化 */
void siftDown(MaxHeap *maxHeap, int i) {
    while (true) {
        // 判斷節點 i, l, r 中值最大的節點，記為 max
        int l = left(maxHeap, i);
        int r = right(maxHeap, i);
        int max = i;
        if (l < size(maxHeap) && maxHeap->data[l] > maxHeap->data[max]) {
            max = l;
        }
        if (r < size(maxHeap) && maxHeap->data[r] > maxHeap->data[max]) {
            max = r;
        }
        // 若節點 i 最大或索引 l, r 越界，則無須繼續堆積化，跳出
        if (max == i) {
            break;
        }
        // 交換兩節點
        swap(maxHeap, i, max);
        // 迴圈向下堆積化
        i = max;
    }
}
```

=== "Kotlin"

```kotlin title="my_heap.kt"
/* 元素出堆積 */
fun pop(): Int {
    // 判空處理
    if (isEmpty()) throw IndexOutOfBoundsException()
    // 交換根節點與最右葉節點（交換首元素與尾元素）
    swap(0, size() - 1)
    // 刪除節點
    val _val = maxHeap.removeAt(size() - 1)
    // 從頂至底堆積化
    siftDown(0)
    // 返回堆積頂元素
    return _val
}

/* 從節點 i 開始，從頂至底堆積化 */
fun siftDown(it: Int) {
    // Kotlin的函式參數不可變，因此建立臨時變數
    var i = it
    while (true) {
        // 判斷節點 i, l, r 中值最大的節點，記為 ma
        val l = left(i)
        val r = right(i)
        var ma = i
        if (l < size() && maxHeap[l] > maxHeap[ma]) ma = l
        if (r < size() && maxHeap[r] > maxHeap[ma]) ma = r
        // 若節點 i 最大或索引 l, r 越界，則無須繼續堆積化，跳出
        if (ma == i) break
        // 交換兩節點
        swap(i, ma)
        // 迴圈向下堆積化
        i = ma
    }
}
```

=== "Ruby"

```ruby title="my_heap.rb"
### 元素出堆積 ###
def pop
  # 判空處理
  raise IndexError, "堆積為空" if is_empty?
  # 交換根節點與最右葉節點（交換首元素與尾元素）
  swap(0, size - 1)
  # 刪除節點
  val = @max_heap.pop
  # 從頂至底堆積化
  sift_down(0)
  # 返回堆積頂元素
  val
end

### 從節點 i 開始，從頂至底堆積化 ###
def sift_down(i)
  loop do
    # 判斷節點 i, l, r 中值最大的節點，記為 ma
    l, r, ma = left(i), right(i), i
    ma = l if l < size && @max_heap[l] > @max_heap[ma]
    ma = r if r < size && @max_heap[r] > @max_heap[ma]

    # 若節點 i 最大或索引 l, r 越界，則無須繼續堆積化，跳出
    break if ma == i

    # 交換兩節點
    swap(i, ma)
    # 迴圈向下堆積化
    i = ma
  end
end
```

=== "Zig"

```zig title="my_heap.zig"
// 元素出堆積
fn pop(self: *Self) !T {
    // 判斷處理
    if (self.isEmpty()) unreachable;
    // 交換根節點與最右葉節點（交換首元素與尾元素）
    try self.swap(0, self.size() - 1);
    // 刪除節點
    var val = self.max_heap.?.pop();
    // 從頂至底堆積化
    try self.siftDown(0);
    // 返回堆積頂元素
    return val;
} 

// 從節點 i 開始，從頂至底堆積化
fn siftDown(self: *Self, i_: usize) !void {
    var i = i_;
    while (true) {
        // 判斷節點 i, l, r 中值最大的節點，記為 ma
        var l = left(i);
        var r = right(i);
        var ma = i;
        if (l < self.size() and self.max_heap.?.items[l] > self.max_heap.?.items[ma]) ma = l;
        if (r < self.size() and self.max_heap.?.items[r] > self.max_heap.?.items[ma]) ma = r;
        // 若節點 i 最大或索引 l, r 越界，則無須繼續堆積化，跳出
        if (ma == i) break;
        // 交換兩節點
        try self.swap(i, ma);
        // 迴圈向下堆積化
        i = ma;
    }
}
```

??? pythontutor "視覺化執行"

<div style="height: 549px; width: 100%;"><iframe class="pythontutor-iframe" src="https://pythontutor.com/iframe-embed.html#code=class%20MaxHeap%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%E5%A4%A7%E9%A0%82%E5%A0%86%E7%A9%8D%22%22%22%0A%0A%20%20%20%20def%20__init__%28self%2C%20nums%3A%20list%5Bint%5D%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%E5%BB%BA%E6%A7%8B%E5%AD%90%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E5%B0%87%E4%B8%B2%E5%88%97%E5%85%83%E7%B4%A0%E5%8E%9F%E5%B0%81%E4%B8%8D%E5%8B%95%E6%96%B0%E5%A2%9E%E9%80%B2%E5%A0%86%E7%A9%8D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20self.max_heap%20%3D%20nums%0A%0A%20%20%20%20def%20left%28self%2C%20i%3A%20int%29%20-%3E%20int%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%E7%8D%B2%E5%8F%96%E5%B7%A6%E5%AD%90%E7%AF%80%E9%BB%9E%E7%9A%84%E7%B4%A2%E5%BC%95%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%202%20%2A%20i%20%2B%201%0A%0A%20%20%20%20def%20right%28self%2C%20i%3A%20int%29%20-%3E%20int%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%E7%8D%B2%E5%8F%96%E5%8F%B3%E5%AD%90%E7%AF%80%E9%BB%9E%E7%9A%84%E7%B4%A2%E5%BC%95%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%202%20%2A%20i%20%2B%202%0A%0A%20%20%20%20def%20parent%28self%2C%20i%3A%20int%29%20-%3E%20int%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%E7%8D%B2%E5%8F%96%E7%88%B6%E7%AF%80%E9%BB%9E%E7%9A%84%E7%B4%A2%E5%BC%95%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20%28i%20-%201%29%20//%202%20%20%23%20%E5%90%91%E4%B8%8B%E6%95%B4%E9%99%A4%0A%0A%20%20%20%20def%20swap%28self%2C%20i%3A%20int%2C%20j%3A%20int%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%E4%BA%A4%E6%8F%9B%E5%85%83%E7%B4%A0%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20self.max_heap%5Bi%5D%2C%20self.max_heap%5Bj%5D%20%3D%20self.max_heap%5Bj%5D%2C%20self.max_heap%5Bi%5D%0A%0A%20%20%20%20def%20size%28self%29%20-%3E%20int%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%E7%8D%B2%E5%8F%96%E5%A0%86%E7%A9%8D%E5%A4%A7%E5%B0%8F%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20len%28self.max_heap%29%0A%0A%20%20%20%20def%20is_empty%28self%29%20-%3E%20bool%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%E5%88%A4%E6%96%B7%E5%A0%86%E7%A9%8D%E6%98%AF%E5%90%A6%E7%82%BA%E7%A9%BA%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20self.size%28%29%20%3D%3D%200%0A%0A%20%20%20%20def%20pop%28self%29%20-%3E%20int%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%E5%85%83%E7%B4%A0%E5%87%BA%E5%A0%86%E7%A9%8D%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E5%88%A4%E7%A9%BA%E8%99%95%E7%90%86%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20self.is_empty%28%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20raise%20IndexError%28%22%E5%A0%86%E7%A9%8D%E7%82%BA%E7%A9%BA%22%29%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E4%BA%A4%E6%8F%9B%E6%A0%B9%E7%AF%80%E9%BB%9E%E8%88%87%E6%9C%80%E5%8F%B3%E8%91%89%E7%AF%80%E9%BB%9E%EF%BC%88%E4%BA%A4%E6%8F%9B%E9%A6%96%E5%85%83%E7%B4%A0%E8%88%87%E5%B0%BE%E5%85%83%E7%B4%A0%EF%BC%89%0A%20%20%20%20%20%20%20%20self.swap%280%2C%20self.size%28%29%20-%201%29%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E5%88%AA%E9%99%A4%E7%AF%80%E9%BB%9E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20val%20%3D%20self.max_heap.pop%28%29%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E5%BE%9E%E9%A0%82%E8%87%B3%E5%BA%95%E5%A0%86%E7%A9%8D%E5%8C%96%0A%20%20%20%20%20%20%20%20self.sift_down%280%29%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E8%BF%94%E5%9B%9E%E5%A0%86%E7%A9%8D%E9%A0%82%E5%85%83%E7%B4%A0%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20val%0A%0A%20%20%20%20def%20sift_down%28self%2C%20i%3A%20int%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%E5%BE%9E%E7%AF%80%E9%BB%9E%20i%20%E9%96%8B%E5%A7%8B%EF%BC%8C%E5%BE%9E%E9%A0%82%E8%87%B3%E5%BA%95%E5%A0%86%E7%A9%8D%E5%8C%96%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20while%20True%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E5%88%A4%E6%96%B7%E7%AF%80%E9%BB%9E%20i%2C%20l%2C%20r%20%E4%B8%AD%E5%80%BC%E6%9C%80%E5%A4%A7%E7%9A%84%E7%AF%80%E9%BB%9E%EF%BC%8C%E8%A8%98%E7%82%BA%20ma%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20l%2C%20r%2C%20ma%20%3D%20self.left%28i%29%2C%20self.right%28i%29%2C%20i%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20if%20l%20%3C%20self.size%28%29%20and%20self.max_heap%5Bl%5D%20%3E%20self.max_heap%5Bma%5D%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20ma%20%3D%20l%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20if%20r%20%3C%20self.size%28%29%20and%20self.max_heap%5Br%5D%20%3E%20self.max_heap%5Bma%5D%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20ma%20%3D%20r%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E8%8B%A5%E7%AF%80%E9%BB%9E%20i%20%E6%9C%80%E5%A4%A7%E6%88%96%E7%B4%A2%E5%BC%95%20l%2C%20r%20%E8%B6%8A%E7%95%8C%EF%BC%8C%E5%89%87%E7%84%A1%E9%A0%88%E7%B9%BC%E7%BA%8C%E5%A0%86%E7%A9%8D%E5%8C%96%EF%BC%8C%E8%B7%B3%E5%87%BA%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20if%20ma%20%3D%3D%20i%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20break%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E4%BA%A4%E6%8F%9B%E5%85%A9%E7%AF%80%E9%BB%9E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20self.swap%28i%2C%20ma%29%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E8%BF%B4%E5%9C%88%E5%90%91%E4%B8%8B%E5%A0%86%E7%A9%8D%E5%8C%96%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20i%20%3D%20ma%0A%0A%0A%22%22%22Driver%20Code%22%22%22%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20%23%20%E5%88%9D%E5%A7%8B%E5%8C%96%E5%A4%A7%E9%A0%82%E5%A0%86%E7%A9%8D%0A%20%20%20%20%23%20%E8%AB%8B%E6%B3%A8%E6%84%8F%EF%BC%8C%E8%BC%B8%E5%85%A5%E9%99%A3%E5%88%97%E5%B7%B2%E7%B6%93%E6%98%AF%E4%B8%80%E5%80%8B%E5%B7%B2%E7%B6%93%E6%98%AF%E4%B8%80%E5%80%8B%E5%90%88%E6%B3%95%E7%9A%84%E5%A0%86%E7%A9%8D%0A%20%20%20%20max_heap%20%3D%20MaxHeap%28%5B9%2C%208%2C%207%2C%206%2C%207%2C%206%2C%202%2C%201%2C%204%2C%203%2C%206%2C%202%2C%205%5D%29%0A%0A%20%20%20%20%23%20%E5%A0%86%E7%A9%8D%E9%A0%82%E5%85%83%E7%B4%A0%E5%87%BA%E5%A0%86%E7%A9%8D%0A%20%20%20%20peek%20%3D%20max_heap.pop%28%29&codeDivHeight=472&codeDivWidth=350&cumulative=false&curInstr=8&heapPrimitives=nevernest&origin=opt-frontend.js&py=311&rawInputLstJSON=%5B%5D&textReferences=false"> </iframe></div>
<div style="margin-top: 5px;"><a href="https://pythontutor.com/iframe-embed.html#code=class%20MaxHeap%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%E5%A4%A7%E9%A0%82%E5%A0%86%E7%A9%8D%22%22%22%0A%0A%20%20%20%20def%20__init__%28self%2C%20nums%3A%20list%5Bint%5D%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%E5%BB%BA%E6%A7%8B%E5%AD%90%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E5%B0%87%E4%B8%B2%E5%88%97%E5%85%83%E7%B4%A0%E5%8E%9F%E5%B0%81%E4%B8%8D%E5%8B%95%E6%96%B0%E5%A2%9E%E9%80%B2%E5%A0%86%E7%A9%8D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20self.max_heap%20%3D%20nums%0A%0A%20%20%20%20def%20left%28self%2C%20i%3A%20int%29%20-%3E%20int%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%E7%8D%B2%E5%8F%96%E5%B7%A6%E5%AD%90%E7%AF%80%E9%BB%9E%E7%9A%84%E7%B4%A2%E5%BC%95%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%202%20%2A%20i%20%2B%201%0A%0A%20%20%20%20def%20right%28self%2C%20i%3A%20int%29%20-%3E%20int%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%E7%8D%B2%E5%8F%96%E5%8F%B3%E5%AD%90%E7%AF%80%E9%BB%9E%E7%9A%84%E7%B4%A2%E5%BC%95%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%202%20%2A%20i%20%2B%202%0A%0A%20%20%20%20def%20parent%28self%2C%20i%3A%20int%29%20-%3E%20int%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%E7%8D%B2%E5%8F%96%E7%88%B6%E7%AF%80%E9%BB%9E%E7%9A%84%E7%B4%A2%E5%BC%95%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20%28i%20-%201%29%20//%202%20%20%23%20%E5%90%91%E4%B8%8B%E6%95%B4%E9%99%A4%0A%0A%20%20%20%20def%20swap%28self%2C%20i%3A%20int%2C%20j%3A%20int%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%E4%BA%A4%E6%8F%9B%E5%85%83%E7%B4%A0%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20self.max_heap%5Bi%5D%2C%20self.max_heap%5Bj%5D%20%3D%20self.max_heap%5Bj%5D%2C%20self.max_heap%5Bi%5D%0A%0A%20%20%20%20def%20size%28self%29%20-%3E%20int%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%E7%8D%B2%E5%8F%96%E5%A0%86%E7%A9%8D%E5%A4%A7%E5%B0%8F%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20len%28self.max_heap%29%0A%0A%20%20%20%20def%20is_empty%28self%29%20-%3E%20bool%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%E5%88%A4%E6%96%B7%E5%A0%86%E7%A9%8D%E6%98%AF%E5%90%A6%E7%82%BA%E7%A9%BA%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20self.size%28%29%20%3D%3D%200%0A%0A%20%20%20%20def%20pop%28self%29%20-%3E%20int%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%E5%85%83%E7%B4%A0%E5%87%BA%E5%A0%86%E7%A9%8D%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E5%88%A4%E7%A9%BA%E8%99%95%E7%90%86%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20self.is_empty%28%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20raise%20IndexError%28%22%E5%A0%86%E7%A9%8D%E7%82%BA%E7%A9%BA%22%29%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E4%BA%A4%E6%8F%9B%E6%A0%B9%E7%AF%80%E9%BB%9E%E8%88%87%E6%9C%80%E5%8F%B3%E8%91%89%E7%AF%80%E9%BB%9E%EF%BC%88%E4%BA%A4%E6%8F%9B%E9%A6%96%E5%85%83%E7%B4%A0%E8%88%87%E5%B0%BE%E5%85%83%E7%B4%A0%EF%BC%89%0A%20%20%20%20%20%20%20%20self.swap%280%2C%20self.size%28%29%20-%201%29%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E5%88%AA%E9%99%A4%E7%AF%80%E9%BB%9E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20val%20%3D%20self.max_heap.pop%28%29%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E5%BE%9E%E9%A0%82%E8%87%B3%E5%BA%95%E5%A0%86%E7%A9%8D%E5%8C%96%0A%20%20%20%20%20%20%20%20self.sift_down%280%29%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E8%BF%94%E5%9B%9E%E5%A0%86%E7%A9%8D%E9%A0%82%E5%85%83%E7%B4%A0%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20val%0A%0A%20%20%20%20def%20sift_down%28self%2C%20i%3A%20int%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%E5%BE%9E%E7%AF%80%E9%BB%9E%20i%20%E9%96%8B%E5%A7%8B%EF%BC%8C%E5%BE%9E%E9%A0%82%E8%87%B3%E5%BA%95%E5%A0%86%E7%A9%8D%E5%8C%96%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20while%20True%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E5%88%A4%E6%96%B7%E7%AF%80%E9%BB%9E%20i%2C%20l%2C%20r%20%E4%B8%AD%E5%80%BC%E6%9C%80%E5%A4%A7%E7%9A%84%E7%AF%80%E9%BB%9E%EF%BC%8C%E8%A8%98%E7%82%BA%20ma%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20l%2C%20r%2C%20ma%20%3D%20self.left%28i%29%2C%20self.right%28i%29%2C%20i%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20if%20l%20%3C%20self.size%28%29%20and%20self.max_heap%5Bl%5D%20%3E%20self.max_heap%5Bma%5D%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20ma%20%3D%20l%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20if%20r%20%3C%20self.size%28%29%20and%20self.max_heap%5Br%5D%20%3E%20self.max_heap%5Bma%5D%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20ma%20%3D%20r%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E8%8B%A5%E7%AF%80%E9%BB%9E%20i%20%E6%9C%80%E5%A4%A7%E6%88%96%E7%B4%A2%E5%BC%95%20l%2C%20r%20%E8%B6%8A%E7%95%8C%EF%BC%8C%E5%89%87%E7%84%A1%E9%A0%88%E7%B9%BC%E7%BA%8C%E5%A0%86%E7%A9%8D%E5%8C%96%EF%BC%8C%E8%B7%B3%E5%87%BA%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20if%20ma%20%3D%3D%20i%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20break%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E4%BA%A4%E6%8F%9B%E5%85%A9%E7%AF%80%E9%BB%9E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20self.swap%28i%2C%20ma%29%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E8%BF%B4%E5%9C%88%E5%90%91%E4%B8%8B%E5%A0%86%E7%A9%8D%E5%8C%96%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20i%20%3D%20ma%0A%0A%0A%22%22%22Driver%20Code%22%22%22%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20%23%20%E5%88%9D%E5%A7%8B%E5%8C%96%E5%A4%A7%E9%A0%82%E5%A0%86%E7%A9%8D%0A%20%20%20%20%23%20%E8%AB%8B%E6%B3%A8%E6%84%8F%EF%BC%8C%E8%BC%B8%E5%85%A5%E9%99%A3%E5%88%97%E5%B7%B2%E7%B6%93%E6%98%AF%E4%B8%80%E5%80%8B%E5%B7%B2%E7%B6%93%E6%98%AF%E4%B8%80%E5%80%8B%E5%90%88%E6%B3%95%E7%9A%84%E5%A0%86%E7%A9%8D%0A%20%20%20%20max_heap%20%3D%20MaxHeap%28%5B9%2C%208%2C%207%2C%206%2C%207%2C%206%2C%202%2C%201%2C%204%2C%203%2C%206%2C%202%2C%205%5D%29%0A%0A%20%20%20%20%23%20%E5%A0%86%E7%A9%8D%E9%A0%82%E5%85%83%E7%B4%A0%E5%87%BA%E5%A0%86%E7%A9%8D%0A%20%20%20%20peek%20%3D%20max_heap.pop%28%29&codeDivHeight=800&codeDivWidth=600&cumulative=false&curInstr=8&heapPrimitives=nevernest&origin=opt-frontend.js&py=311&rawInputLstJSON=%5B%5D&textReferences=false" target="_blank" rel="noopener noreferrer">全螢幕觀看 ></a></div>

8.1.3 堆積的常見應用

優先佇列：堆積通常作為實現優先佇列的首選資料結構，其入列和出列操作的時間複雜度均為 O(\log n) ，而建堆積操作為 O(n) ，這些操作都非常高效。
堆積排序：給定一組資料，我們可以用它們建立一個堆積，然後不斷地執行元素出堆積操作，從而得到有序資料。然而，我們通常會使用一種更優雅的方式實現堆積排序，詳見“堆積排序”章節。
獲取最大的 k 個元素：這是一個經典的演算法問題，同時也是一種典型應用，例如選擇熱度前 10 的新聞作為微博熱搜，選取銷量前 10 的商品等。

83 KiB Raw Blame History Unescape Escape

8.1 堆積

8.1.1 堆積的常用操作

8.1.2 堆積的實現

1. 堆積的儲存與表示

2. 訪問堆積頂元素

3. 元素入堆積

4. 堆積頂元素出堆積

8.1.3 堆積的常見應用

83 KiB

Raw Blame History Unescape Escape