33 KiB

Raw Blame History Unescape Escape

comments
true

10.2 二分搜尋插入點

二分搜尋不僅可用於搜尋目標元素，還可用於解決許多變種問題，比如搜尋目標元素的插入位置。

10.2.1 無重複元素的情況

!!! question

給定一個長度為 $n$ 的有序陣列 `nums` 和一個元素 `target` ，陣列不存在重複元素。現將 `target` 插入陣列 `nums` 中，並保持其有序性。若陣列中已存在元素 `target` ，則插入到其左方。請返回插入後 `target` 在陣列中的索引。示例如圖 10-4 所示。

{ class="animation-figure" }

圖 10-4 二分搜尋插入點示例資料

如果想複用上一節的二分搜尋程式碼，則需要回答以下兩個問題。

問題一：當陣列中包含 target 時，插入點的索引是否是該元素的索引？

題目要求將 target 插入到相等元素的左邊，這意味著新插入的 target 替換了原來 target 的位置。也就是說，當陣列包含 target 時，插入點的索引就是該 target 的索引。

問題二：當陣列中不存在 target 時，插入點是哪個元素的索引？

進一步思考二分搜尋過程：當 nums[m] < target 時 i 移動，這意味著指標 i 在向大於等於 target 的元素靠近。同理，指標 j 始終在向小於等於 target 的元素靠近。

因此二分結束時一定有：i 指向首個大於 target 的元素，j 指向首個小於 target 的元素。易得當陣列不包含 target 時，插入索引為 i 。程式碼如下所示：

=== "Python"

```python title="binary_search_insertion.py"
def binary_search_insertion_simple(nums: list[int], target: int) -> int:
    """二分搜尋插入點（無重複元素）"""
    i, j = 0, len(nums) - 1  # 初始化雙閉區間 [0, n-1]
    while i <= j:
        m = (i + j) // 2  # 計算中點索引 m
        if nums[m] < target:
            i = m + 1  # target 在區間 [m+1, j] 中
        elif nums[m] > target:
            j = m - 1  # target 在區間 [i, m-1] 中
        else:
            return m  # 找到 target ，返回插入點 m
    # 未找到 target ，返回插入點 i
    return i
```

=== "C++"

```cpp title="binary_search_insertion.cpp"
/* 二分搜尋插入點（無重複元素） */
int binarySearchInsertionSimple(vector<int> &nums, int target) {
    int i = 0, j = nums.size() - 1; // 初始化雙閉區間 [0, n-1]
    while (i <= j) {
        int m = i + (j - i) / 2; // 計算中點索引 m
        if (nums[m] < target) {
            i = m + 1; // target 在區間 [m+1, j] 中
        } else if (nums[m] > target) {
            j = m - 1; // target 在區間 [i, m-1] 中
        } else {
            return m; // 找到 target ，返回插入點 m
        }
    }
    // 未找到 target ，返回插入點 i
    return i;
}
```

=== "Java"

```java title="binary_search_insertion.java"
/* 二分搜尋插入點（無重複元素） */
int binarySearchInsertionSimple(int[] nums, int target) {
    int i = 0, j = nums.length - 1; // 初始化雙閉區間 [0, n-1]
    while (i <= j) {
        int m = i + (j - i) / 2; // 計算中點索引 m
        if (nums[m] < target) {
            i = m + 1; // target 在區間 [m+1, j] 中
        } else if (nums[m] > target) {
            j = m - 1; // target 在區間 [i, m-1] 中
        } else {
            return m; // 找到 target ，返回插入點 m
        }
    }
    // 未找到 target ，返回插入點 i
    return i;
}
```

=== "C#"

```csharp title="binary_search_insertion.cs"
/* 二分搜尋插入點（無重複元素） */
int BinarySearchInsertionSimple(int[] nums, int target) {
    int i = 0, j = nums.Length - 1; // 初始化雙閉區間 [0, n-1]
    while (i <= j) {
        int m = i + (j - i) / 2; // 計算中點索引 m
        if (nums[m] < target) {
            i = m + 1; // target 在區間 [m+1, j] 中
        } else if (nums[m] > target) {
            j = m - 1; // target 在區間 [i, m-1] 中
        } else {
            return m; // 找到 target ，返回插入點 m
        }
    }
    // 未找到 target ，返回插入點 i
    return i;
}
```

=== "Go"

```go title="binary_search_insertion.go"
/* 二分搜尋插入點（無重複元素） */
func binarySearchInsertionSimple(nums []int, target int) int {
    // 初始化雙閉區間 [0, n-1]
    i, j := 0, len(nums)-1
    for i <= j {
        // 計算中點索引 m
        m := i + (j-i)/2
        if nums[m] < target {
            // target 在區間 [m+1, j] 中
            i = m + 1
        } else if nums[m] > target {
            // target 在區間 [i, m-1] 中
            j = m - 1
        } else {
            // 找到 target ，返回插入點 m
            return m
        }
    }
    // 未找到 target ，返回插入點 i
    return i
}
```

=== "Swift"

```swift title="binary_search_insertion.swift"
/* 二分搜尋插入點（無重複元素） */
func binarySearchInsertionSimple(nums: [Int], target: Int) -> Int {
    // 初始化雙閉區間 [0, n-1]
    var i = nums.startIndex
    var j = nums.endIndex - 1
    while i <= j {
        let m = i + (j - i) / 2 // 計算中點索引 m
        if nums[m] < target {
            i = m + 1 // target 在區間 [m+1, j] 中
        } else if nums[m] > target {
            j = m - 1 // target 在區間 [i, m-1] 中
        } else {
            return m // 找到 target ，返回插入點 m
        }
    }
    // 未找到 target ，返回插入點 i
    return i
}
```

=== "JS"

```javascript title="binary_search_insertion.js"
/* 二分搜尋插入點（無重複元素） */
function binarySearchInsertionSimple(nums, target) {
    let i = 0,
        j = nums.length - 1; // 初始化雙閉區間 [0, n-1]
    while (i <= j) {
        const m = Math.floor(i + (j - i) / 2); // 計算中點索引 m, 使用 Math.floor() 向下取整
        if (nums[m] < target) {
            i = m + 1; // target 在區間 [m+1, j] 中
        } else if (nums[m] > target) {
            j = m - 1; // target 在區間 [i, m-1] 中
        } else {
            return m; // 找到 target ，返回插入點 m
        }
    }
    // 未找到 target ，返回插入點 i
    return i;
}
```

=== "TS"

```typescript title="binary_search_insertion.ts"
/* 二分搜尋插入點（無重複元素） */
function binarySearchInsertionSimple(
    nums: Array<number>,
    target: number
): number {
    let i = 0,
        j = nums.length - 1; // 初始化雙閉區間 [0, n-1]
    while (i <= j) {
        const m = Math.floor(i + (j - i) / 2); // 計算中點索引 m, 使用 Math.floor() 向下取整
        if (nums[m] < target) {
            i = m + 1; // target 在區間 [m+1, j] 中
        } else if (nums[m] > target) {
            j = m - 1; // target 在區間 [i, m-1] 中
        } else {
            return m; // 找到 target ，返回插入點 m
        }
    }
    // 未找到 target ，返回插入點 i
    return i;
}
```

=== "Dart"

```dart title="binary_search_insertion.dart"
/* 二分搜尋插入點（無重複元素） */
int binarySearchInsertionSimple(List<int> nums, int target) {
  int i = 0, j = nums.length - 1; // 初始化雙閉區間 [0, n-1]
  while (i <= j) {
    int m = i + (j - i) ~/ 2; // 計算中點索引 m
    if (nums[m] < target) {
      i = m + 1; // target 在區間 [m+1, j] 中
    } else if (nums[m] > target) {
      j = m - 1; // target 在區間 [i, m-1] 中
    } else {
      return m; // 找到 target ，返回插入點 m
    }
  }
  // 未找到 target ，返回插入點 i
  return i;
}
```

=== "Rust"

```rust title="binary_search_insertion.rs"
/* 二分搜尋插入點（無重複元素） */
fn binary_search_insertion_simple(nums: &[i32], target: i32) -> i32 {
    let (mut i, mut j) = (0, nums.len() as i32 - 1); // 初始化雙閉區間 [0, n-1]
    while i <= j {
        let m = i + (j - i) / 2; // 計算中點索引 m
        if nums[m as usize] < target {
            i = m + 1; // target 在區間 [m+1, j] 中
        } else if nums[m as usize] > target {
            j = m - 1; // target 在區間 [i, m-1] 中
        } else {
            return m;
        }
    }
    // 未找到 target ，返回插入點 i
    i
}
```

=== "C"

```c title="binary_search_insertion.c"
/* 二分搜尋插入點（無重複元素） */
int binarySearchInsertionSimple(int *nums, int numSize, int target) {
    int i = 0, j = numSize - 1; // 初始化雙閉區間 [0, n-1]
    while (i <= j) {
        int m = i + (j - i) / 2; // 計算中點索引 m
        if (nums[m] < target) {
            i = m + 1; // target 在區間 [m+1, j] 中
        } else if (nums[m] > target) {
            j = m - 1; // target 在區間 [i, m-1] 中
        } else {
            return m; // 找到 target ，返回插入點 m
        }
    }
    // 未找到 target ，返回插入點 i
    return i;
}
```

=== "Kotlin"

```kotlin title="binary_search_insertion.kt"
/* 二分搜尋插入點（無重複元素） */
fun binarySearchInsertionSimple(nums: IntArray, target: Int): Int {
    var i = 0
    var j = nums.size - 1 // 初始化雙閉區間 [0, n-1]
    while (i <= j) {
        val m = i + (j - i) / 2 // 計算中點索引 m
        if (nums[m] < target) {
            i = m + 1 // target 在區間 [m+1, j] 中
        } else if (nums[m] > target) {
            j = m - 1 // target 在區間 [i, m-1] 中
        } else {
            return m // 找到 target ，返回插入點 m
        }
    }
    // 未找到 target ，返回插入點 i
    return i
}
```

=== "Ruby"

```ruby title="binary_search_insertion.rb"
### 二分搜尋插入點（無重複元素） ###
def binary_search_insertion_simple(nums, target)
  # 初始化雙閉區間 [0, n-1]
  i, j = 0, nums.length - 1

  while i <= j
    # 計算中點索引 m
    m = (i + j) / 2

    if nums[m] < target
      i = m + 1 # target 在區間 [m+1, j] 中
    elsif nums[m] > target
      j = m - 1 # target 在區間 [i, m-1] 中
    else
      return m  # 找到 target ，返回插入點 m
    end
  end

  i # 未找到 target ，返回插入點 i
end
```

=== "Zig"

```zig title="binary_search_insertion.zig"
[class]{}-[func]{binarySearchInsertionSimple}
```

??? pythontutor "視覺化執行"

<div style="height: 549px; width: 100%;"><iframe class="pythontutor-iframe" src="https://pythontutor.com/iframe-embed.html#code=def%20binary_search_insertion_simple%28nums%3A%20list%5Bint%5D%2C%20target%3A%20int%29%20-%3E%20int%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%E4%BA%8C%E5%88%86%E6%90%9C%E5%B0%8B%E6%8F%92%E5%85%A5%E9%BB%9E%EF%BC%88%E7%84%A1%E9%87%8D%E8%A4%87%E5%85%83%E7%B4%A0%EF%BC%89%22%22%22%0A%20%20%20%20i%2C%20j%20%3D%200%2C%20len%28nums%29%20-%201%20%20%23%20%E5%88%9D%E5%A7%8B%E5%8C%96%E9%9B%99%E9%96%89%E5%8D%80%E9%96%93%20%5B0%2C%20n-1%5D%0A%20%20%20%20while%20i%20%3C%3D%20j%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20m%20%3D%20%28i%20%2B%20j%29%20//%202%20%20%23%20%E8%A8%88%E7%AE%97%E4%B8%AD%E9%BB%9E%E7%B4%A2%E5%BC%95%20m%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20nums%5Bm%5D%20%3C%20target%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20i%20%3D%20m%20%2B%201%20%20%23%20target%20%E5%9C%A8%E5%8D%80%E9%96%93%20%5Bm%2B1%2C%20j%5D%20%E4%B8%AD%0A%20%20%20%20%20%20%20%20elif%20nums%5Bm%5D%20%3E%20target%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20j%20%3D%20m%20-%201%20%20%23%20target%20%E5%9C%A8%E5%8D%80%E9%96%93%20%5Bi%2C%20m-1%5D%20%E4%B8%AD%0A%20%20%20%20%20%20%20%20else%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20return%20m%20%20%23%20%E6%89%BE%E5%88%B0%20target%20%EF%BC%8C%E8%BF%94%E5%9B%9E%E6%8F%92%E5%85%A5%E9%BB%9E%20m%0A%20%20%20%20%23%20%E6%9C%AA%E6%89%BE%E5%88%B0%20target%20%EF%BC%8C%E8%BF%94%E5%9B%9E%E6%8F%92%E5%85%A5%E9%BB%9E%20i%0A%20%20%20%20return%20i%0A%0A%0A%22%22%22Driver%20Code%22%22%22%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20%23%20%E7%84%A1%E9%87%8D%E8%A4%87%E5%85%83%E7%B4%A0%E7%9A%84%E9%99%A3%E5%88%97%0A%20%20%20%20nums%20%3D%20%5B1%2C%203%2C%206%2C%208%2C%2012%2C%2015%2C%2023%2C%2026%2C%2031%2C%2035%5D%0A%20%20%20%20%23%20%E4%BA%8C%E5%88%86%E6%90%9C%E5%B0%8B%E6%8F%92%E5%85%A5%E9%BB%9E%0A%20%20%20%20target%20%3D%206%0A%20%20%20%20index%20%3D%20binary_search_insertion_simple%28nums%2C%20target%29%0A%20%20%20%20print%28f%22%E5%85%83%E7%B4%A0%20%7Btarget%7D%20%E7%9A%84%E6%8F%92%E5%85%A5%E9%BB%9E%E7%9A%84%E7%B4%A2%E5%BC%95%E7%82%BA%20%7Bindex%7D%22%29&codeDivHeight=472&codeDivWidth=350&cumulative=false&curInstr=5&heapPrimitives=nevernest&origin=opt-frontend.js&py=311&rawInputLstJSON=%5B%5D&textReferences=false"> </iframe></div>
<div style="margin-top: 5px;"><a href="https://pythontutor.com/iframe-embed.html#code=def%20binary_search_insertion_simple%28nums%3A%20list%5Bint%5D%2C%20target%3A%20int%29%20-%3E%20int%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%E4%BA%8C%E5%88%86%E6%90%9C%E5%B0%8B%E6%8F%92%E5%85%A5%E9%BB%9E%EF%BC%88%E7%84%A1%E9%87%8D%E8%A4%87%E5%85%83%E7%B4%A0%EF%BC%89%22%22%22%0A%20%20%20%20i%2C%20j%20%3D%200%2C%20len%28nums%29%20-%201%20%20%23%20%E5%88%9D%E5%A7%8B%E5%8C%96%E9%9B%99%E9%96%89%E5%8D%80%E9%96%93%20%5B0%2C%20n-1%5D%0A%20%20%20%20while%20i%20%3C%3D%20j%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20m%20%3D%20%28i%20%2B%20j%29%20//%202%20%20%23%20%E8%A8%88%E7%AE%97%E4%B8%AD%E9%BB%9E%E7%B4%A2%E5%BC%95%20m%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20nums%5Bm%5D%20%3C%20target%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20i%20%3D%20m%20%2B%201%20%20%23%20target%20%E5%9C%A8%E5%8D%80%E9%96%93%20%5Bm%2B1%2C%20j%5D%20%E4%B8%AD%0A%20%20%20%20%20%20%20%20elif%20nums%5Bm%5D%20%3E%20target%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20j%20%3D%20m%20-%201%20%20%23%20target%20%E5%9C%A8%E5%8D%80%E9%96%93%20%5Bi%2C%20m-1%5D%20%E4%B8%AD%0A%20%20%20%20%20%20%20%20else%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20return%20m%20%20%23%20%E6%89%BE%E5%88%B0%20target%20%EF%BC%8C%E8%BF%94%E5%9B%9E%E6%8F%92%E5%85%A5%E9%BB%9E%20m%0A%20%20%20%20%23%20%E6%9C%AA%E6%89%BE%E5%88%B0%20target%20%EF%BC%8C%E8%BF%94%E5%9B%9E%E6%8F%92%E5%85%A5%E9%BB%9E%20i%0A%20%20%20%20return%20i%0A%0A%0A%22%22%22Driver%20Code%22%22%22%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20%23%20%E7%84%A1%E9%87%8D%E8%A4%87%E5%85%83%E7%B4%A0%E7%9A%84%E9%99%A3%E5%88%97%0A%20%20%20%20nums%20%3D%20%5B1%2C%203%2C%206%2C%208%2C%2012%2C%2015%2C%2023%2C%2026%2C%2031%2C%2035%5D%0A%20%20%20%20%23%20%E4%BA%8C%E5%88%86%E6%90%9C%E5%B0%8B%E6%8F%92%E5%85%A5%E9%BB%9E%0A%20%20%20%20target%20%3D%206%0A%20%20%20%20index%20%3D%20binary_search_insertion_simple%28nums%2C%20target%29%0A%20%20%20%20print%28f%22%E5%85%83%E7%B4%A0%20%7Btarget%7D%20%E7%9A%84%E6%8F%92%E5%85%A5%E9%BB%9E%E7%9A%84%E7%B4%A2%E5%BC%95%E7%82%BA%20%7Bindex%7D%22%29&codeDivHeight=800&codeDivWidth=600&cumulative=false&curInstr=5&heapPrimitives=nevernest&origin=opt-frontend.js&py=311&rawInputLstJSON=%5B%5D&textReferences=false" target="_blank" rel="noopener noreferrer">全螢幕觀看 ></a></div>

10.2.2 存在重複元素的情況

!!! question

在上一題的基礎上，規定陣列可能包含重複元素，其餘不變。

假設陣列中存在多個 target ，則普通二分搜尋只能返回其中一個 target 的索引，而無法確定該元素的左邊和右邊還有多少 target。

題目要求將目標元素插入到最左邊，所以我們需要查詢陣列中最左一個 target 的索引。初步考慮透過圖 10-5 所示的步驟實現。

執行二分搜尋，得到任意一個 target 的索引，記為 k 。
從索引 k 開始，向左進行線性走訪，當找到最左邊的 target 時返回。

{ class="animation-figure" }

圖 10-5 線性查詢重複元素的插入點

此方法雖然可用，但其包含線性查詢，因此時間複雜度為 O(n) 。當陣列中存在很多重複的 target 時，該方法效率很低。

現考慮拓展二分搜尋程式碼。如圖 10-6 所示，整體流程保持不變，每輪先計算中點索引 m ，再判斷 target 和 nums[m] 的大小關係，分為以下幾種情況。

當 nums[m] < target 或 nums[m] > target 時，說明還沒有找到 target ，因此採用普通二分搜尋的縮小區間操作，從而使指標 i 和 j 向 target 靠近。
當 nums[m] == target 時，說明小於 target 的元素在區間 [i, m - 1] 中，因此採用 j = m - 1 來縮小區間，從而使指標 j 向小於 target 的元素靠近。

迴圈完成後，i 指向最左邊的 target ，j 指向首個小於 target 的元素，因此索引 i 就是插入點。

=== "<1>" { class="animation-figure" }

=== "<2>" { class="animation-figure" }

=== "<3>" { class="animation-figure" }

=== "<4>" { class="animation-figure" }

=== "<5>" { class="animation-figure" }

=== "<6>" { class="animation-figure" }

=== "<7>" { class="animation-figure" }

=== "<8>" { class="animation-figure" }

圖 10-6 二分搜尋重複元素的插入點的步驟

觀察以下程式碼，判斷分支 nums[m] > target 和 nums[m] == target 的操作相同，因此兩者可以合併。

即便如此，我們仍然可以將判斷條件保持展開，因為其邏輯更加清晰、可讀性更好。