Add the section of binary_search_recur.

codes/python/chapter_divide_and_conquer/binary_search_recur.py

@@ -0,0 +1,39 @@
+"""
+File: binary_search_recur.py
+Created Time: 2023-07-17
+Author: krahets (xisunyy@163.com)
+"""
+
+
+def dfs(nums: list[int], target: int, i: int, j: int) -> int:
+    """二分查找：分治"""
+    # 若区间为空，代表未找到目标元素，则返回 -1
+    if i > j:
+        return -1
+    # 计算中点索引 m
+    m = (i + j) // 2
+    if nums[m] < target:
+        # 此情况说明 target 在区间 [m+1, j] 中，递归解决该子问题
+        return dfs(nums, target, m + 1, j)
+    elif nums[m] > target:
+        # 此情况说明 target 在区间 [i, m-1] 中，递归解决该子问题
+        return dfs(nums, target, i, m - 1)
+    else:
+        # 找到目标元素，返回其索引
+        return m
+
+
+def binary_search(nums: list[int], target: int) -> int:
+    """二分查找"""
+    n = len(nums)
+    return dfs(nums, target, 0, n - 1)
+
+
+"""Driver Code"""
+if __name__ == "__main__":
+    target = 6
+    nums = [1, 3, 6, 8, 12, 15, 23, 26, 31, 35]
+
+    # 二分查找（双闭区间）
+    index: int = binary_search(nums, target)
+    print("目标元素 6 的索引 = ", index)

docs/chapter_divide_and_conquer/binary_search_recur.md

@@ -0,0 +1,118 @@
+# 分治搜索策略
+
+我们已经学过，搜索算法分为两大类：暴力搜索、自适应搜索。暴力搜索的时间复杂度为 $O(n)$ 。自适应搜索利用特有的数据组织形式或先验信息，可达到 $O(\log n)$ 甚至 $O(1)$ 的时间复杂度。
+
+实际上，**$O(\log n)$ 的搜索算法通常都是基于分治策略实现的**，例如：
+
+- 二分查找的每一步都将问题（在数组中搜索目标元素）分解为一个小问题（在数组的一半中搜索目标元素），这个过程一直持续到数组为空或找到目标元素为止。
+- 树是分治关系的代表，在二叉搜索树、AVL 树、堆等数据结构中，各种操作的时间复杂度皆为 $O(\log n)$ 。
+
+分治之所以能够提升搜索效率，是因为暴力搜索每轮只能排除一个选项，**而基于分治的搜索每轮可以排除一半选项**。
+
+## 基于分治实现二分
+
+接下来，我们尝试从分治策略的角度分析二分查找的性质：
+
+- **问题可以被分解**：二分查找递归地将原问题（在数组中进行查找）分解为子问题（在数组的一半中进行查找），这是通过比较中间元素和目标元素来实现的。
+- **子问题是独立的**：在二分查找中，每轮只处理一个子问题，它不受另外子问题的影响。
+- **子问题的解无需合并**：二分查找旨在查找一个特定元素，因此不需要将子问题的解进行合并。当子问题得到解决时，原问题也会同时得到解决。
+
+在之前章节中，我们基于递推（迭代）实现二分查找。现在，我们尝试基于递归分治来实现它。
+
+问题定义为：**在数组 `nums` 的区间 $[i, j]$ 内查找元素 `target`** ，记为 $f(i, j)$ 。
+
+设数组长度为 $n$ ，则二分查找的流程为：从原问题 $f(0, n-1)$ 开始，每轮排除一半索引区间，递归求解规模减小一半的子问题，直至找到 `target` 或区间为空时返回。
+
+下图展示了在数组中二分查找目标元素 $6$ 的分治过程。
+
+![二分查找的分治过程](binary_search_recur.assets/binary_search_recur.png)
+
+如下代码所示，我们声明一个递归函数 `dfs()` 来求解问题 $f(i, j)$ 。
+
+=== "Java"
+
+    ```java title="binary_search_recur.java"
+    [class]{binary_search_recur}-[func]{dfs}
+
+    [class]{binary_search_recur}-[func]{binarySearch}
+    ```
+
+=== "C++"
+
+    ```cpp title="binary_search_recur.cpp"
+    [class]{}-[func]{dfs}
+
+    [class]{}-[func]{binarySearch}
+    ```
+
+=== "Python"
+
+    ```python title="binary_search_recur.py"
+    [class]{}-[func]{dfs}
+
+    [class]{}-[func]{binary_search}
+    ```
+
+=== "Go"
+
+    ```go title="binary_search_recur.go"
+    [class]{}-[func]{dfs}
+
+    [class]{}-[func]{binarySearch}
+    ```
+
+=== "JavaScript"
+
+    ```javascript title="binary_search_recur.js"
+    [class]{}-[func]{dfs}
+
+    [class]{}-[func]{binarySearch}
+    ```
+
+=== "TypeScript"
+
+    ```typescript title="binary_search_recur.ts"
+    [class]{}-[func]{dfs}
+
+    [class]{}-[func]{binarySearch}
+    ```
+
+=== "C"
+
+    ```c title="binary_search_recur.c"
+    [class]{}-[func]{dfs}
+
+    [class]{}-[func]{binarySearch}
+    ```
+
+=== "C#"
+
+    ```csharp title="binary_search_recur.cs"
+    [class]{binary_search_recur}-[func]{dfs}
+
+    [class]{binary_search_recur}-[func]{binarySearch}
+    ```
+
+=== "Swift"
+
+    ```swift title="binary_search_recur.swift"
+    [class]{}-[func]{dfs}
+
+    [class]{}-[func]{binarySearch}
+    ```
+
+=== "Zig"
+
+    ```zig title="binary_search_recur.zig"
+    [class]{}-[func]{dfs}
+
+    [class]{}-[func]{binarySearch}
+    ```
+
+=== "Dart"
+
+    ```dart title="binary_search_recur.dart"
+    [class]{}-[func]{dfs}
+
+    [class]{}-[func]{binarySearch}
+    ```

mkdocs.yml

@@ -208,8 +208,9 @@ nav:
   - 12.     分治:
     - chapter_divide_and_conquer/index.md
     - 12.1.   分治算法（New）: chapter_divide_and_conquer/divide_and_conquer.md
-    - 12.2.   构建树问题（New）: chapter_divide_and_conquer/build_binary_tree_problem.md
+    - 12.2.   分治搜索策略（New）: chapter_divide_and_conquer/binary_search_recur.md
-    - 12.3.   汉诺塔问题（New）: chapter_divide_and_conquer/hanota_problem.md
+    - 12.3.   构建树问题（New）: chapter_divide_and_conquer/build_binary_tree_problem.md
+    - 12.4.   汉诺塔问题（New）: chapter_divide_and_conquer/hanota_problem.md
   - 13.     回溯:
     - chapter_backtracking/index.md
     - 13.1.   回溯算法: chapter_backtracking/backtracking_algorithm.md